Движущегося тела (или материальной точки). Различают два основных определения средней скорости, соответствующие рассмотрению скорости как скалярной либо векторной величины: средняя путевая скорость (скалярная величина) и средняя скорость по перемещению (векторная величина). При отсутствии дополнительных уточнений, под средней скоростью обычно понимают среднюю путевую скорость.
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
✪ Урок 17. Средняя скорость. Средняя путевая скорость.
✪ Задача на среднюю скорость
✪ GetAClass - Задачи на движение 3. Средняя скорость
Субтитры
Средняя путевая скорость
Средняя (путевая) скорость - это отношение длины пути , пройденного телом, ко времени , за которое этот путь был пройден:
V c p = Σ s Σ t . {\displaystyle v_{cp}={\frac {\Sigma s}{\Sigma t}}.}
Средняя путевая скорость, в отличие от мгновенной скорости , не является векторной величиной.
Средняя скорость равна среднему арифметическому от скоростей тела во время движения только в том случае, когда тело двигалось с этими скоростями одинаковые промежутки времени. (В случае, если тело двигалось с разными скоростями неодинаковые промежутки времени, среднюю скорость можно вычислить как взвешенное среднее арифметическое этих скоростей с весами, равными соответствующим промежуткам времени.)
В то же время если, например, половину пути автомобиль двигался со скоростью 180 км/ч, а вторую половину со скоростью 20 км/ч, то средняя скорость будет 36 км/ч. В примерах, подобных этому, средняя скорость равна среднему гармоническому всех скоростей на отдельных, равных между собой, участках пути. Если участки пути, по которому двигалось тело с разными скоростями, не равны между собой, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому всех скоростей с весами - длинами соответствующих этим скоростям участков пути.
Средняя скорость по перемещению
Можно также ввести среднюю скорость по перемещению , которая будет вектором , равным отношению перемещения ко времени, за которое оно совершено:
v → c p = s → Δ t . {\displaystyle {\vec {v}}_{cp}={\frac {\vec {s}}{\Delta t}}.}Средняя скорость, определённая таким образом, может равняться нулю даже в том случае, если точка (тело) реально двигалась (но в конце промежутка времени вернулась в исходное положение).
1.2. Прямолинейное движение
1.2.4. Средняя скорость
Материальная точка (тело) сохраняет свою скорость неизменной только при равномерном прямолинейном движении. Если движение является неравномерным (в том числе и равнопеременным), то скорость тела изменяется. Такое движение характеризуют средней скоростью. Различают среднюю скорость перемещения и среднюю путевую скорость.
Средняя скорость перемещения является векторной физической величиной, которую определяют по формуле
v → r = Δ r → Δ t ,
где Δ r → - вектор перемещения; ∆t - интервал времени, за которое это перемещение произошло.
Средняя путевая скорость является скалярной физической величиной и вычисляется по формуле
v s = S общ t общ,
где S общ = S 1 + S 1 + ... + S n ; t общ = t 1 + t 2 + ... + t N .
Здесь S 1 = v 1 t 1 - первый участок пути; v 1 - скорость прохождения первого участка пути (рис. 1.18); t 1 - время движения на первом участке пути и т.п.
Рис. 1.18
Пример 7. Одну четверть пути автобус движется со скоростью 36 км/ч, вторую четверть пути - 54 км/ч, оставшийся путь - со скоростью 72 км/ч. Рассчитать среднюю путевую скорость автобуса.
Решение. Общий путь, пройденный автобусом, обозначим S :
S общ = S .
S 1 = S /4 - путь, пройденный автобусом на первом участке,
S 2 = S /4 - путь, пройденный автобусом на втором участке,
S 3 = S /2 - путь, пройденный автобусом на третьем участке.
Время движения автобуса определяется формулами:
- на первом участке (S
1 = S
/4) -
t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1 ;
- на втором участке (S
2 = S
/4) -
t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2 ;
- на третьем участке (S
3 = S
/2) -
t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3 .
Общее время движения автобуса составляет:
t общ = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .
v s = S общ t общ = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =
1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .
v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 км/ч.
Пример 8. Пятую часть времени городской автобус тратит на остановки, остальное время он движется со скоростью 36 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автобуса.
Решение. Общее время движения автобуса на маршруте обозначим t :
t общ = t .
t 1 = t /5 - время, затраченное на остановки,
t 2 = 4t /5 - время движения автобуса.
Путь, пройденный автобусом:
- за время t
1 = t
/5 -
S 1 = v 1 t 1 = 0,
так как скорость автобуса v 1 на данном временном интервале равна нулю (v 1 = 0);
- за время t
2 = 4t
/5 -
S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,
где v 2 - скорость автобуса на данном временном интервале (v 2 = = 36 км/ч).
Общий путь автобуса составляет:
S общ = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t .
Вычисление средней путевой скорости автобуса произведем по формуле
v s = S общ t общ = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .
Расчет дает значение средней путевой скорости:
v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 км/ч.
Пример 9. Уравнение движения материальной точки имеет вид x (t ) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) м, где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить среднюю путевую скорость и величину средней скорости перемещения материальной точки за первые три секунды движения.
Решение. Для определения средней скорости перемещения необходимо рассчитать перемещение материальной точки. Модуль перемещения материальной точки в интервале времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с вычислим как разность координат:
| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,
Подстановка значений в формулу для вычисления модуля перемещения дает:
| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 м.
Таким образом, перемещение материальной точки равно нулю. Следовательно, модуль средней скорости перемещения также равен нулю:
| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 м/с.
Для определения средней путевой скорости нужно рассчитать путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Движение точки является равнозамедленным, поэтому необходимо выяснить, попадает ли точка остановки в указанный интервал.
Для этого запишем закон изменения скорости материальной точки с течением времени в виде:
v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t ,
где v 0 x = −6,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 4,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.
Найдем точку остановки из условия
v (τ ост) = 0,
т.е.
τ ост = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 с.
Точка остановки попадает во временной интервал от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Таким образом, пройденный путь вычислим по формуле
S = S 1 + S 2 ,
где S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | - путь, пройденный материальной точкой до остановки, т.е. за время от t 1 = 0 с до τ ост = 1,5 с; S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | - путь, пройденный материальной точкой после остановки, т.е. за время от τ ост = 1,5 с до t 1 = 3,0 с.
Рассчитаем значения координат в указанные моменты времени:
x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 м;
x (τ ост) = 9,0 − 6,0 τ ост + 2,0 τ ост 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 м;
x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 м.
Значения координат позволяют вычислить пути S 1 и S 2:
S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 м;
S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 м,
а также суммарный пройденный путь:
S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 м.
Следовательно, искомое значение средней путевой скорости материальной точки равно
v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 м/с.
Пример 10. График зависимости проекции скорости материальной точки от времени представляет собой прямую линию и проходит через точки (0; 8,0) и (12; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время - в секундах. Во сколько раз средняя путевая скорость за 16 с движения превышает величину средней скорости перемещения за то же время?
Решение. График зависимости проекции скорости тела от времени показан на рисунке.
Для графического вычисления пути, пройденного материальной точкой, и модуля ее перемещения необходимо определить значение проекции скорости в момент времени, равный 16 с.
Существует два способа определения значения v x в указанный момент времени: аналитический (через уравнение прямой) и графический (через подобие треугольников). Для нахождения v x воспользуемся первым способом и составим уравнение прямой по двум точкам:
t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,
где (t 1 ; v x 1) - координаты первой точки; (t 2 ; v x 2) - координаты второй точки. По условию задачи: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. С учетом конкретных значений координат данное уравнение принимает вид:
t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,
v x = 8,0 − 2 3 t .
При t = 16 с значение проекции скорости составляет
| v x | = 8 3 м/с.
Данное значение можно получить также из подобия треугольников.
- Вычислим путь, пройденный материальной точкой, как сумму величин S
1 и S
2:
S = S 1 + S 2 ,
где S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 0 с до 12 с; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 12 с до 16 с.
Суммарный пройденный путь составляет
S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 м.
Средняя путевая скорость материальной точки равна
v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 м/с.
- Вычислим значение перемещения материальной точки как модуль разности величин S
1 и S
2:
S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 м.
Величина средней скорости перемещения составляет
| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 м/с.
Искомое отношение скоростей равно
v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25 .
Средняя путевая скорость материальной точки в 1,25 раза превышает модуль средней скорости перемещения.
Есть средние величины, неправильное определение которых вошло в анекдот или в притчу. Любые неверно произведённые расчёты комментируются расхожей общепонятной ссылкой на такой заведомо абсурдный результат. У каждого, к примеру, вызовет улыбку саркастического понимания фраза "средняя температура по больнице". Однако те же знатоки нередко, не задумываясь, складывают скорости на отдельных отрезках пути и делят подсчитанную сумму на число этих участков, чтобы получить столь же бессмысленный ответ. Напомним из курса механики средней школы, как найти среднюю скорость правильным, а не абсурдным способом.
Аналог "средней температуры" в механике
В каких случаях каверзно сформулированные условия задачи подталкивают нас к поспешному необдуманному ответу? Если говорится о "частях" пути, но не указывается их протяжённость, это настораживает даже мало искушённого в решении подобных примеров человека. А вот если в задаче прямо указывается на равные промежутки, например, "первую половину пути поезд следовал со скоростью...", или "первую треть пути пешеход прошагал соскоростью...", и далее подробно расписывается, как объёкт передвигался на оставшихся равных участках, то есть известно соотношение S 1 = S 2 = ... = S n и точные значения скоростей v 1, v 2, ... v n , наше мышление нередко даёт непростительную осечку. Считается среднее арифметическое скоростей, то есть все известные значения v складываются и делятся на n . В итоге ответ получается неверный.
Простые "формулы" расчёта величин при равномерном движении
И для всего пройденного пути, и для отдельных его участков в случае усреднения скорости справедливы соотношения, написанные для равномерного движения :
- S = vt (1), "формула" пути;
- t=S/v (2), "формула" расчёта времени движения;
- v=S/t (3), "формула" определения средней скорости на участке пути S , пройденном за время t .
То есть для нахождения искомой величины v с использованием соотношения (3) нам нужно точно знать две другие. Именно решая вопрос, как найти среднюю скорость движения, мы прежде всего должны определить, каков весь пройденный путь S и каково всё время движения t .
Математическое обнаружение скрытой ошибки
В решаемом нами примере пройденный телом (поездом или пешеходом) путь будет равен произведению nS n (так как мы n раз складываем равные участки пути, в приведённых примерах - половинки, n = 2 , или трети, n = 3 ). О полном же времени движения нам ничего не известно. Как определить среднюю скорость, если знаменатель дроби (3) явно не задан? Воспользуемся соотношением (2), для каждого участка пути определим t n = S n: v n . Сумму рассчитанных таким образом промежутков времени запишем под чертой дроби (3). Ясно, что, для того чтобы избавиться от знаков "+", нужно приводить все S n: v n к общему знаменателю. В результате получается "двухэтажная дробь". Далее пользуемся правилом: знаменатель знаменателя идёт в числитель. В итоге, для задачи с поездом после сокращения на S n имеем v ср = nv 1 v 2: v 1 + v 2 , n = 2 (4) . Для случая с пешеходом вопрос -, как найти среднюю скорость, решается ещё сложнее: v ср = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1 , n = 3 (5).
Явное подтверждение ошибки "в числах"
Для того чтобы "на пальцах" подтвердить, что определение среднего арифметического - ошибочный путь при расчёте v ср , конкретизируем пример, заменив абстрактные буквы числами. Для поезда возьмём скорости 40 км/ч и 60 км/ч (ошибочный ответ - 50 км/ч ). Для пешехода - 5 , 6 и 4 км/ч (среднее арифметическое - 5 км/ч ). Нетрудно убедиться, подставив значения в соотношения (4) и (5), что верными ответами будут для локомотива 48 км/ч и для человека - 4,(864) км/ч (периодическая десятичная дробь, результат математически не слишком красивый).
Когда среднее арифметическое "не подводит"
Если задача формулируется так: "За равные промежутки времени тело двигалось сначала со скоростью v 1 , затем v 2 , v 3 и так далее", быстрый ответ на вопрос, как найти среднюю скорость, может быть найден неправильным способом. Предоставим читателю самостоятельно в этом убедиться, просуммировав в знаменателе равные промежутки времени и воспользовавшись в числителе v ср соотношением (1). Это, пожалуй, единственный случай, когда ошибочный метод приводит к получению корректного результата. Но для гарантированно точных расчётов нужно пользоваться единственно правильным алгоритмом, неизменно обращаясь к дроби v ср = S: t .
Алгоритм на все случаи жизни
Для того чтобы наверняка избежать ошибки, при решении вопроса, как найти среднюю скорость, достаточно запомнить и выполнить простую последовательность действий:
- определить весь путь, просуммировав длины отдельных его участков;
- установить всё время пути;
- поделить первый результат на второй, неизвестные, не заданные в задаче величины при этом (при условии корректной формулировки условий) сокращаются.
В статье рассмотрены простейшие случаи, когда исходные данные приводятся для равных долей времени или равных участков пути. В общем случае соотношение хронологических промежутков либо пройденных телом расстояний может быть самым произвольным (но при этом математически определённым, выраженным конкретным целым числом или дробью). Правило обращения к соотношению v ср = S: t абсолютно универсально и никогда не подводит, сколь бы сложные на первый взгляд алгебраические преобразования ни приходилось выполнять.
Напоследок отметим: для наблюдательных читателей не осталась незамеченной практическая значимость использования верного алгоритма. Правильно рассчитанная средняя скорость в приведённых примерах оказалась несколько ниже "средней температуры" на трассе. Поэтому ложный алгоритм для систем, фиксирующих превышения скорости, означал бы большее число ошибочных постановлений ГИБДД, высылаемых в "письмах счастья" водителям.
Средней скоростью называется скорость, которая получается, если весь путь поделить на время, за которое объект преодолел этот путь. Формула средней скорости:
- V ср = S/t.
- S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
- V ср = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)
Чтобы не путаться с часами и минутами, переводим все минуты в часы: 15 мин. = 0,4 час, 36 мин. = 0,6 час. Подставляем числовые значения в последнюю формулу:
- V ср = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 км/час
Ответ: средняя скорость V ср = 13,3 км/час.
Как найти среднюю скорость движения с ускорением
Если скорость в начале движения отличается от скорости в его конце, такое движение называют ускоренным. Причём далеко не всегда тело действительно двигается всё быстрее и быстрее. Если движение замедляется, всё равно говорят, что оно движется с ускорением, только ускорение будет уже отрицательным.
Иными словами, если автомобиль, трогаясь с места, через секунду разогнался до скорости 10 м/сек, то его ускорение а равно 10 м в секунду за секунду а = 10 м/сек². Если в следующую секунду автомобиль остановился, то его ускорение тоже равно 10 м/сек², только уже со знаком минус: а = -10 м/сек².
Скорость движения с ускорением в конце временного отрезка вычисляется по формуле:
- V = V0 ± at,
где V0 - начальная скорость движения, a - ускорение, t - время, за которое наблюдалось данное ускорение. Плюс или минус в формуле ставится в зависимости от того, увеличивалась скорость или уменьшалась.
Средняя скорость за отрезок времени t вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скорости:
- V ср = (V0 + V) / 2.
Находим среднюю скорость: задача
Шарик толкнули по ровной плоскости с начальной скоростью V0 = 5 м/сек. Через 5 сек. шарик остановился. Чему равны ускорение и средняя скорость?
Конечная скорость шарика V = 0 м/сек. Ускорение из первой формулы равно
- а = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 м/сек².
Средняя скорость V ср = (V0 + V) / 2= 5 /2 = 2,5 м/сек.
1.2. Прямолинейное движение
1.2.4. Средняя скорость
Материальная точка (тело) сохраняет свою скорость неизменной только при равномерном прямолинейном движении. Если движение является неравномерным (в том числе и равнопеременным), то скорость тела изменяется. Такое движение характеризуют средней скоростью. Различают среднюю скорость перемещения и среднюю путевую скорость.
Средняя скорость перемещения является векторной физической величиной, которую определяют по формуле
v → r = Δ r → Δ t ,
где Δ r → - вектор перемещения; ∆t - интервал времени, за которое это перемещение произошло.
Средняя путевая скорость является скалярной физической величиной и вычисляется по формуле
v s = S общ t общ,
где S общ = S 1 + S 1 + ... + S n ; t общ = t 1 + t 2 + ... + t N .
Здесь S 1 = v 1 t 1 - первый участок пути; v 1 - скорость прохождения первого участка пути (рис. 1.18); t 1 - время движения на первом участке пути и т.п.
Рис. 1.18
Пример 7. Одну четверть пути автобус движется со скоростью 36 км/ч, вторую четверть пути - 54 км/ч, оставшийся путь - со скоростью 72 км/ч. Рассчитать среднюю путевую скорость автобуса.
Решение. Общий путь, пройденный автобусом, обозначим S :
S общ = S .
S 1 = S /4 - путь, пройденный автобусом на первом участке,
S 2 = S /4 - путь, пройденный автобусом на втором участке,
S 3 = S /2 - путь, пройденный автобусом на третьем участке.
Время движения автобуса определяется формулами:
- на первом участке (S
1 = S
/4) -
t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1 ;
- на втором участке (S
2 = S
/4) -
t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2 ;
- на третьем участке (S
3 = S
/2) -
t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3 .
Общее время движения автобуса составляет:
t общ = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .
v s = S общ t общ = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =
1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .
v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 км/ч.
Пример 8. Пятую часть времени городской автобус тратит на остановки, остальное время он движется со скоростью 36 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автобуса.
Решение. Общее время движения автобуса на маршруте обозначим t :
t общ = t .
t 1 = t /5 - время, затраченное на остановки,
t 2 = 4t /5 - время движения автобуса.
Путь, пройденный автобусом:
- за время t
1 = t
/5 -
S 1 = v 1 t 1 = 0,
так как скорость автобуса v 1 на данном временном интервале равна нулю (v 1 = 0);
- за время t
2 = 4t
/5 -
S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,
где v 2 - скорость автобуса на данном временном интервале (v 2 = = 36 км/ч).
Общий путь автобуса составляет:
S общ = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t .
Вычисление средней путевой скорости автобуса произведем по формуле
v s = S общ t общ = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .
Расчет дает значение средней путевой скорости:
v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 км/ч.
Пример 9. Уравнение движения материальной точки имеет вид x (t ) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) м, где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить среднюю путевую скорость и величину средней скорости перемещения материальной точки за первые три секунды движения.
Решение. Для определения средней скорости перемещения необходимо рассчитать перемещение материальной точки. Модуль перемещения материальной точки в интервале времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с вычислим как разность координат:
| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,
Подстановка значений в формулу для вычисления модуля перемещения дает:
| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 м.
Таким образом, перемещение материальной точки равно нулю. Следовательно, модуль средней скорости перемещения также равен нулю:
| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 м/с.
Для определения средней путевой скорости нужно рассчитать путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Движение точки является равнозамедленным, поэтому необходимо выяснить, попадает ли точка остановки в указанный интервал.
Для этого запишем закон изменения скорости материальной точки с течением времени в виде:
v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t ,
где v 0 x = −6,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 4,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.
Найдем точку остановки из условия
v (τ ост) = 0,
т.е.
τ ост = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 с.
Точка остановки попадает во временной интервал от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Таким образом, пройденный путь вычислим по формуле
S = S 1 + S 2 ,
где S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | - путь, пройденный материальной точкой до остановки, т.е. за время от t 1 = 0 с до τ ост = 1,5 с; S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | - путь, пройденный материальной точкой после остановки, т.е. за время от τ ост = 1,5 с до t 1 = 3,0 с.
Рассчитаем значения координат в указанные моменты времени:
x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 м;
x (τ ост) = 9,0 − 6,0 τ ост + 2,0 τ ост 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 м;
x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 м.
Значения координат позволяют вычислить пути S 1 и S 2:
S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 м;
S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 м,
а также суммарный пройденный путь:
S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 м.
Следовательно, искомое значение средней путевой скорости материальной точки равно
v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 м/с.
Пример 10. График зависимости проекции скорости материальной точки от времени представляет собой прямую линию и проходит через точки (0; 8,0) и (12; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время - в секундах. Во сколько раз средняя путевая скорость за 16 с движения превышает величину средней скорости перемещения за то же время?
Решение. График зависимости проекции скорости тела от времени показан на рисунке.
Для графического вычисления пути, пройденного материальной точкой, и модуля ее перемещения необходимо определить значение проекции скорости в момент времени, равный 16 с.
Существует два способа определения значения v x в указанный момент времени: аналитический (через уравнение прямой) и графический (через подобие треугольников). Для нахождения v x воспользуемся первым способом и составим уравнение прямой по двум точкам:
t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,
где (t 1 ; v x 1) - координаты первой точки; (t 2 ; v x 2) - координаты второй точки. По условию задачи: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. С учетом конкретных значений координат данное уравнение принимает вид:
t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,
v x = 8,0 − 2 3 t .
При t = 16 с значение проекции скорости составляет
| v x | = 8 3 м/с.
Данное значение можно получить также из подобия треугольников.
- Вычислим путь, пройденный материальной точкой, как сумму величин S
1 и S
2:
S = S 1 + S 2 ,
где S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 0 с до 12 с; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 12 с до 16 с.
Суммарный пройденный путь составляет
S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 м.
Средняя путевая скорость материальной точки равна
v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 м/с.
- Вычислим значение перемещения материальной точки как модуль разности величин S
1 и S
2:
S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 м.
Величина средней скорости перемещения составляет
| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 м/с.
Искомое отношение скоростей равно
v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25 .
Средняя путевая скорость материальной точки в 1,25 раза превышает модуль средней скорости перемещения.