ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Введем понятие параллельных плоскостей

Согласно аксиоме A3, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Отсюда следует, что плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точку.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскости параллельны, пишут: .

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим две плоскости: .

В плоскости лежат пересекающиеся прямые a1 и b1, а в плоскости параллельные им пересекающиеся прямые a2и b2.

Докажем, что.

Доказательство. Рассуждаем методом от противного.

Предположим, что плоскости не параллельны. Тогда существует прямая c, по некоторой они пересекаются.

Так как прямая a1 параллельна прямой a2 , лежащей в плоскости, то прямая a1 параллельна плоскости.

Аналогично, прямая b1 параллельна плоскоcти.

Теперь можно воспользоваться свойством прямой, параллельной плоскости.

Так как плоскость проходит через прямую a1, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей c будет параллельна прямой a1, т.е.

Но плоскость проходит и через прямую b1, параллельную плоскости, поэтому.

Таким образом, через точку O1 проходят две прямые a1 и b1 , параллельные прямой c.

Но это невозможно, через O1 может проходить только одна прямая, параллельная с.

Предположив, что мы пришли к противоречию. Следовательно, .

Теорема доказана.

Задача 1. Три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.

Отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в одной плоскости

O - общая середина отрезков

Доказать: Плоскость A1B1C1 плоскости A2B2C2

В плоскости A1B1C1возьмем пересекающиеся отрезки A1B1 и A1C1 , а в плоскости A2B2C2 - отрезки A2B2 и A2C2. Докажем, что они соответственно параллельны.

Рассмотрим четырехугольник A1B1A2B2.

Так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Поэтому A1B1 A2B2

Аналогично из четырехугольника A1C1A2C2 получим, что A1C1 A2C2.

По признаку параллельности плоскостей,

Ðассматривается отношение параллельности плоскостей, его свойства и применения.

Наглядное представление о расположении двух

Плоскостей дает моделирование с помощью плоскостей поверхностей смежных стен, потолка и пола комнаты, двухъярусных кроватей, двух скрепленных листов бу-

маги и т. п. (рис. 242–244).

Хотя существует бесконечное множество вариантов взаимного расположения различных плоскостей, для установления и характеристики которых в последующем будут применены измерения углов и расстояний, мы сначала остановимся на таких, где в основу классификации (как и прямых с плоскостями) положено количество их общих точек.

1. Две плоскости имеют не менее трёх общих точек, не лежащих на одной прямой. Такие плоскости совпадают (аксиома С 2 , §7).

2. Общие точки двух плоскостей расположены на одной прямой, являющейся линией пересеченияэтихплоскостей(аксиомаС 3 ,§7). Такие плоскости пересекаются.

3. Две плоскости не имеют общих точек.

В этом случае их называют параллельны-

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей обозначается знаком ||: α || β.

Как всегда, при введении геометрических понятий возника-

ет проблема их существования. Существование пересекающих-

ся плоскостей является характерным признаком пространства,

и этим мы уже многократно пользовались. Менее очевидным яв-

ляется существование параллельных плоскостей. Нет никакого

сомнения в том, что, например, плоскости противоположных гра-

ней куба параллельны, то есть не пересекаются. Но непосредс-

твенно, по определению, это установить невозможно. Для реше-

ния поставленного вопроса, а также других вопросов, связанных с

параллельностью плоскостей, необходимо иметь признак параллельности.

Для поиска признака целесообразно рассматривать плоскость,

«сотканную» из прямых. Очевидно, что каждая прямая одной из

параллельных плоскостей должна быть параллельна другой.

В противном случае плоскости будут иметь общую точку. Доста-

точно ли параллельности плоскости β одной прямой плоскости α

для того, чтобы плоскости α и β были параллельными? Безуслов-

но, нет (обоснуйте это!). Практический опыт свидетельствует, что

двух таких пересекающихся прямых достаточно. Чтобы закрепить

на мачте параллельную земле площадку, достаточно положить ее

на две прикрепленные к мачте балки, параллель-
ные земле (рис. 245). Можно привести еще много
примеров применения этого приема обеспечения
параллельности плоских поверхностей реальных
объектов (попробуйте это сделать!).
Приведенные рассуждения позволяют сформу-
лировать следующее утверждение.
		(признак параллельности плоскостей).
		пересекающиеся прямые одной плоско-

сти параллельны второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

 Пусть пересекающиеся прямые а и b плоскости α параллельны плоскости β. Докажем, что плоскости α и β параллельны методом от противного. Для этого допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой

т (рис. 246). Прямые а и b пересекать прямую т не могут по условию. Однако тогда в плоскости α через одну точку проведены две прямые, не пересекающиеся с прямой т, то есть параллельные ей. Это противоречие

и завершает доказательство теоремы.

Признаком параллельности плоскостей пользуются при горизонтальном размещении плоских конструкций (бетонных плит, пола, диска угломерных приборов и т. п.) с помощью двух уровней, размещенных в плоскости конструкции на пересекающихся прямых. На основании этого признака можно выполнить построение плоскости, параллельной данной.

Задача 1. Через точку, лежащую вне данной плоскости, провести плоскость, параллельную данной.

 Пусть даны плоскость β и точка М вне плоскости (рис. 247, а). Проведем через точку М две пересекающиеся прямые а и b , параллельные плоскости β. Для этого нужно взять в плоскости β две пересекающиеся прямые с и d (рис. 247, б). Потом через точку М провести прямые а и b , параллельные прямым с и d соответствен-

но (рис. 247, в).

Пересекающиеся прямые а и b параллельны плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11). Они определяют однозначно плоскость α. Согласно доказанному признаку, α || β.

Пример 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точки М , N , Р – середины ребер ВС , В 1 С 1 , А 1 D 1 соответственно. Установить взаимное расположение плоскостей: 1) АВВ 1 и PNM ; 2) NMA и A 1 C 1 C ; 3) A 1 NM

и РC 1 C ; 4) МAD 1 и DB 1 C.

 1) Плоскости ABB 1 и РNM (рис. 248) параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямые РN и NM пересекаются и параллельны плоскости ABB 1 , по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), ведь отрезки РN и NM соединяют середины противоположных сторон квадратов, поэтому они параллельны сторонам квадратов:

РN || A 1 B 1 , NM || В 1 B.

2) Плоскости NMA и A 1 C 1 C пересекаются по прямой AA 1 (рис. 249). Действительно, прямые AA 1 и СC 1 параллельны, по признаку параллельности прямых (AA 1 || ВB 1 , ВB 1 || СC 1 ). Поэтому прямая AA 1 лежит в плоскости A 1 C 1 C . Аналогично обосновывается принадлежность прямой AA 1 плоскости NMA .

3) Плоскости A 1 NM и РC 1 C (рис. 250) параллельны, по признаку параллельности плоскостей. Действительно, NM || С 1 C . Поэтому прямая NM параллельна плоскости РC 1 C. Отрезки РC 1 и A 1 N также параллельны, поскольку четырехугольник РC 1 NA 1 – параллелограмм (А 1 P || NC 1 , A 1 P = NC 1 ). Таким образом, прямая A 1 N параллельна плоскости РC 1 C. Прямые A 1 N и NM пересекаются.

4) Плоскости MAD 1 и DB 1 C пересекаются (рис. 251). Хотя линию их пересечения построить непросто, но указать одну точку этой линии нетрудно. Действительно, прямые A 1 D и В 1 C - параллельны, поскольку четырехугольник A 1 B 1 CD – параллелограмм (A 1 B 1 = AВ = СD , A 1 B 1 || AВ , AВ || СD ). Поэтому прямая A 1 D принадлежит плоскости DB 1 C. Прямые A 1 D и AD 1 пересекаются в точке, общей для плоскостей MAD 1 , и DB 1 C.


		Приведенный признак параллельности плоскостей
		Приведенный признак параллельности плоскостей
		иногда удобнее использовать в несколько другой


	1′ (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пользуясь признаком параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), нетрудно установить, что из условия теоремы 1′ вытекает условие теоремы 1. Применение теоремы, обратной признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 2 §11) завершает обоснование эквивалентности условий теорем 1 и 1′.

Естественно возникает вопрос об однозначности приведенного в задаче 1 построения. Поскольку нам придется не раз воспользоваться этим свойством, то выделим его как отдельную теорему. Однако сначала рассмотрим другое утверждение.

Теорема 2 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

 Пусть даны параллельные плоскости α, β и плоскость γ, их пересекающая (рис. 252). Обозначим линии пересечения

через а и b. Эти прямые лежат в плоскости γ и не пересекаются, поскольку плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому пря-

мые а и b - параллельны.

Теорема 3 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

 Построение такой плоскости выполнено в задаче 1. Однозначность построения докажем методом от противного. Допустим, что через точку М проведены две различные плоскости α и γ, па-

раллельные плоскости β (рис. 253), и прямая т - линия их пересечения. Проведем через точку М плоскость δ, пересекающуюся с прямой

т и плоскостью β (как это можно сделать?). Обозначим через а и b

линии пересечения плоскости δ с плоскостями α и γ, а через с - линию пересечения плоскостей δ и β (рис. 253). Согласно теореме 2, а || с

и b || с. То есть в плоскости δ через

точку М проходят две прямые, параллельные прямой с. Противоречие свидетельствует о неверности предположения.

Отношение параллельности плоскостей обладает рядом свойств, имеющих аналоги в планиметрии.

Теорема 4 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

 Пусть даны две параллельные плоскости α и β и отрезки АВ

и СD параллельных прямых a и d , отсекаемые этими плоскостями (рис. 254, а). Проведем через прямые a и d плоскость γ (рис. 254, б). Она пересекает плоскости α и β по прямым АС и BD, которые, согласно теореме 2, параллельны. Поэтому четырехугольник АBСD - параллелограмм, его противоположные стороны АС и BD равны.

Из приведенного свойства вытекает, что если от всех точек плоскости отложить

по одну сторону от плоскости параллельные отрезки одинаковой длины, то концы этих отрезков образуют две параллельные плоскости. Именно на этом свойстве основано построение параллелепипеда с помощью отложения отрезков (рис. 255).

Теорема 5 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то данные две плоскости параллельны между собой.

 Пусть плоскости α и β параллельны плоскости γ. Допустим, что

α и β не параллельны. Тогда плоскости α и β имеют общую точку, и через эту точку проходят две различные плоскости, параллельные плоскости γ, что противоречит теореме 3. Поэтому плоскости α и β не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Теорема 5 является еще одним признаком параллельности плоскостей. Она широко применяется как в геометрии, так и в практической деятельности. Например, в многоэтажном здании параллельность плоскостей пола и потолка на каждом этаже гарантирует их параллельность и на разных этажах.

Задача 2. Доказать, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости α.

 Пусть плоскости α и β параллельны, а прямая а пересекает плоскость α в точке А . Докажем, что она пересекает и плоскость

β. Допустим, что это не так. Тогда прямая а параллельна плоскости β. Проведем плоскость γ через прямую а и произвольную точку плоскости β (рис. 256).

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым b и с . Со-

гласно теореме 2, b || с, то есть в плоскости γ через точку А проходят две прямые а и b, параллельные прямой с . Это противоречие и доказывает утверждение.

Попробуйте доказать самостоятельно, что если плоскость α пересекает плоскость β, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости β.

Пример 2. В тетраэдре АBCD точки K , F, Е - середины ребер DA, DС, DВ, а М и Р - центры масс граней АВD и ВСD соответственно.

1) Установить взаимное расположение плоскостей KEF и ABC ;

DEF и ABC.

2) Построить линию пересечения плоскостей AFB и KEC.

3) Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости АВD и проходящей через точку Р , если все рёбра тетраэдра равны а.

 Построим рисунок, соответствующий условию (рис. 257, а). 1) Плоскости KEF и ABC параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1’): пересекающиеся прямые KE и KF плоскости KEF параллельны пересекающимся прямым AB и AC плоскости ABC (на них лежат средние линии соответствую-

щих треугольников).

Плоскости DEF и ABC пересекаются по прямой BC , так как прямая BC принадлежит обеим плоскостям, а совпадать они не могут - точки А , В , С , D не лежат в одной плоскости.

2) Плоскость AFB пересекается с плоскостью KEC по прямой, содержащей точку Р , так как прямые СЕ и BF , лежащие в этих плоскостях, находятся в плоскости BCD и пересекаются в точке Р . Другой точкой является точка пересечения Q прямых AF и CK в плоскости ACD (рис. 257, б). Очевидно, что эта точка является центром масс грани ACD. Искомым пересечением является прямая PQ.

3) Построим сечение, указанное в условии, пользуясь признаком параллельности плоскостей. Проведем через точки P и Q прямые, параллельные прямым DB и DA соответственно (рис. 257, в). Эти прямые пересекают отрезок CD в точке L. Последнее вытекает из свойства центра масс треугольника - он делит медианы треугольника в отношении 2: 1, считая от вершины. Осталось применить теорему Фалеса. Таким образом, плоскости PLQ и BDA параллельны. Искомым сечением является треугольник LSN.

По построению, треугольники BCD и SCL подобны с коэффициентом подобия CE CP = 3 2 . Поэтому LS = 3 2 BD . Аналогично уста-

навливаются равенства: LN = 3 2 AD , NS = 3 2 AB . Отсюда вытекает, что треугольники LSN и ABD подобны с коэффициентом подобия 3 2 . По свойствам площадей подобных треугольников,

S LNS = 4 9 S ABD . Осталось найти площадь треугольника ABD. По-

скольку, по условию, все рёбра тетраэдра равны а , то S ABD = 4 3 a 2 .

Искомая площадь равна 3 1 3 a 2 .

Уместно обратить внимание на то, что ответ зависит лишь от площади грани ABD. Поэтому равенство всех рёбер является лишь средством найти эту площадь. Таким образом, данную задачу можно существенно обобщить.

Ответ. 1) KEF || ABC ; 3) 3 1 3 a 2 .

 Контрольные вопросы

1. Верно ли, что две плоскости параллельны, если каждая прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

2. Плоскости α и β параллельны. Существуют ли скрещивающиеся прямые, лежащие в этих плоскостях?

3. Две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости. Параллельна ли этой плоскости третья сторона треугольника?

4. Две стороны параллелограмма параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что плоскость параллелограмма параллельна данной плоскости?

5. Могут ли быть неравными отрезки двух прямых, отсекаемые параллельными плоскостями?

6. Может ли сечением куба быть равнобокая трапеция? Может ли сечением куба быть правильный пятиугольник? Верно ли, что две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой?

Линии пересечения плоскостей α и β плоскостью γ параллельны между собой. Параллельны ли плоскости α и β?

Могут ли три грани куба быть параллельными одной плоскости?

Графические упражнения

1. На рис.258 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точки М , N , K , L , Р - середины соответствующих рёбер. Заполните по приведенному образцу таблицу, выбрав необходимое расположение плоскостей α и β.

Взаимное

расположение

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
и ADC	и BB1 D	и MNP	и BMN

	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
и PLN	и DMN	и AB1 C	и MKP

2. На рис. 259 изображен тетраэдр ABCD, точки K , F, M , N , Q - середины соответствующих рёбер. Укажите:

1) плоскость, проходящую через точку K параллельно плоскости ABC;

2) плоскость, проходящую через прямую BD параллельно плоскости MNQ.

3. Определите, чем является сечение фигуры плоскостью, проходящей через данные три точки, изображенные на рисун-

ках 260, а)–д) и 261, а)–г).

4. Постройте рисунок по приведенным данным.

1) Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

2) Треугольник A 1 B 1 C 1 является проекцией треугольника ABC на параллельную ему плоскость α. Точка М - середина ВС , М 1 - проекция точки М на плоскость α.

207. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки О , О 1 - центры граней ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 соответственно, М - середина ребра АВ .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей МО 1 О

и ADD 1 , ABD 1 и СО 1 С 1 .

2°) Постройте точку пересечения плоскости DCC 1 и прямой МО 1 и линию пересечения плоскостей МСС 1 и A 1 D 1 C 1 .

3) Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости AD 1 C 1 и проходящей через точку О 1 , если ребро куба равно а.

208. В тетраэдре ABCD точки K , L , Р - центры масс граней ABD , BDC , ABC соответственно, а М - середина ребра AD .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACD

и KLP ; МLK и ABC .

2°) Постройте точку пересечения плоскости ABC и прямой МL и линию пересечения плоскостей МKL и ABC.

3) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , L и М параллельно прямой AD, если все рёбра тетраэдра равны а.

209. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки L, M, M 1 - середины рёбер AB, AD и A 1 D 1 соответственно.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей B 1 D 1 D

и LMM1 .

2) Постройте плоскость, проходящую через точку М параллельно плоскости ACC 1 .

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M 1 параллельно плоскости CDD 1 .

4) Определите взаимное расположение плоскостей МА 1 В 1

и CDМ1 .

5) Постройте плоскость, проходящую через прямую C 1 D 1 параллельно плоскости CDM 1 .

210. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все рёбра равны между собой. Точки L , M и N - середины рёбер AS , BS , CS соответственно.

1°) Определите взаимное расположение: прямых LM и BC ; прямой LN и плоскости ABD; плоскостей LMN и BDC .

2°) Докажите, что треугольники ABC и LMN подобны.

3) Постройте сечение пирамиды плоскостью AMN ; плоскостью LMN; плоскостью LBC .

4*) Какое из сечений пирамиды, проходящих через вершину S , имеет наибольшую площадь?

Параллельность прямых и плоскостей

В тетраэдре SABC все грани - правильные треугольники. Точки L, M и N - середины рёбер AS, BS, CS соответственно. 1°) Определите взаимное расположение прямых LM и ВС. 2°) Определите взаимное расположение прямой LN и плоскости АВС.

3) Докажите, что треугольники LMN и AВС подобны.


Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из
двух параллельных плоскостей, проведены попарно парал-
лельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответс-
твенно в точках A 1 , В 1 , C 1 , D 1 .
1°) Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – параллело-

2°) Докажите, что параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1
равны между собой.
3°) Определите взаимное расположение плоскостей АВВ 1
и DD1 C1 .
4) Проведите через середину отрезка АА 1 плоскость так,
чтобы она пересекала данные прямые в точках, являющих-
ся вершинами параллелограмма, равного параллелограм-
му ABCD.
Даны две параллельные плоскости и точка О , не принадле-
жащая ни одной из этих плоскостей и не лежащая между
ними. Из точки О		проведены три луча, пересекающие плос-
кости соответственно в точках A , B, C и A 1 , B 1 , C 1 ине лежа-
щие в одной плоскости.
1°) Определите взаимное расположение данных плоскостей
иплоскости,проходящейчерезсерединыотрезковAA 1 ,BB 1 ,CC 1 .
2) Найдите периметр треугольника A 1 B 1 C 1 , если OA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = а.
Треугольник А 1 В 1 С 1 является проекцией треугольника АВС
на параллельную ему плоскость α. Точка M - середина сто-
роны ВС ; М 1 - проекция точки М			на плоскость α. Точка N
делит сторону АВ		в отношении 1:2.	плоскости M 1 MN и пря-
1) Постройте точку пересечения N 1
мой А 1 В 1 .
2) Определите форму четырехугольника M 1 N 1 NM.
	M лежит вне плоскости трапеции ABCB с основания-
ми AD	и BC. Постройте линию пересечения плоскостей:
1°) ABM и CDM ;		2) CBM и ADM.

Постройте сечение куба, являющееся: 1°) равносторонним треугольником; 2) пятиугольником.

217. Постройте сечение тетраэдра, являющееся параллелограммом.

218°. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны.

219. Докажите, что множество всех прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной плоскости, образует плоскость, параллельную данной.

220. Даны четыре точки A , B , C , D , не лежащие в одной плоскости. Докажите, что каждая плоскость, параллельная прямым AB и CD, пересекает прямые AC, AD, BD, BC в вершинах параллелограмма.

221. Докажите, что плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, параллельны между собой, если обе они параллельны одной и той же плоскости.

222. Через точку О пересечения диагоналей куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена плоскость параллельно грани ABCD. Эта плоскость пересекает рёбра BB 1 и CC 1 в точках M и N соответственно. Докажите, что угол MON - прямой.

223. Докажите, что две плоскости параллельны между собой тогда и только тогда, когда каждая прямая, пересекающая одну из плоскостей, пересекает и вторую.

224*. В треугольной пирамиде SABC через отрезки AD и CE, где D - середина SB, а E - середина SA , проведите сечения пирамиды, параллельные между собой.

225. Найдите геометрические места:

1) середин всех отрезков с концами на двух данных параллельных плоскостях; 2*) середин отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

226*. Сторона АВ треугольника АВС , лежащего в плоскости α, параллельна плоскости β. Равносторонний треугольник А 1 В 1 С 1 является параллельной проекцией треугольника АВС на плоскость β; АВ = 5, ВС = 6, АС = 9.

1) Установите взаимное расположение прямых АВ и А 1 В 1 ,

ВС и В1 С1 , А1 С1 и AC.

2) Найдите площадь треугольника А 1 В 1 С 1 .

227*. Даны две скрещивающиеся прямые. Укажите множество всех точек пространства, через которые можно провести прямую, пересекающую каждую из двух данных прямых.

Основное определение

Две плоскости называ-

ются параллельными,

если они не имеют общих точек.

Основные утверждения

Признак парал- Если две пересекаю- лельности двух щиеся прямые одной плоскостей плоскости соответственно параллельны двум прямым второй плоскости, то эти плос-

кости параллельны.

Теорема о пе- Если две параллель- ресечении двух ные плоскости пе- параллельных ресекаются третьей плоскостей плоскостью, то линии третьей пересечения плоскос-

тей параллельны.

a α,b α,a ×b ,c β, d β, a || c , b || d α || β

α || β, a = γ∩α, b = γ∩β a || b

M α

β: α || β, М β

Готовимся к тематичес-

кому оцениванию по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Задания для самоконтроля

1. Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли некоторые три из них лежать на одной прямой?

2. Могутлитриразличныеплоскостииметьровнодвеобщиеточки?

3. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть одновременно параллельными третьей прямой?

4. Верно ли, что прямые а и b не параллельны, если не существует прямой с , параллельной а и b ?

5. Могут ли равные отрезки иметь неравные проекции?

6. Может ли луч быть параллельной проекцией прямой?

7. Может ли квадрат быть изображением куба?

8. Верно ли, что через данную точку пространства можно провести только одну плоскость, параллельную данной прямой?

9. Всегда ли через данную точку можно провести прямую, параллельную двум данным плоскостям, не содержащим эту точку?

10. Можно ли через две скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости?

Ответы к заданиям для самоконтрол я

Образец контрольной работы

Два параллелограмма АBCD и АBC 1 D 1 лежат в различных плоскостях.

1°) Определите взаимное расположение прямых CD и C 1 D 1 .

2°) Определите взаимное расположение прямой C 1 D 1 и плоскости

3°) Постройте линию пересечения плоскостей DD 1 С 1 и ВСС 1 .

4°)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостейАDD 1 иВCC 1 .

5) Через точку М , делящую отрезок АВ в отношении 2:1, считая от точки А , проведите плоскость α, параллельную плоскости С 1 ВС. 6) Постройте точку пересечения прямой АС с плоскостью α и найдите отношение, в котором эта точка делит отрезок АС.

		Параллельность прямых и плоскостей
Взаимное расположение прямых в пространстве
			Таблица 21
	Число общих точек
Не менее двух
		лежат в одной	не лежат в од-
		плоскости	ной плоскости

Взаимноерасположениепрямыхиплоскостейвпространстве

			Таблица 22

	Число общих точек
Не менее двух		Отсуствуют

а лежит в α	а пересекает α	а і α - параллель-
(а α)	(а × α)	ны (а \|\| α)
Взаимное расположение плоскостей в пространстве
		Таблица 23
	Число общих точек
Не менее трех,	Не меньше одной, но	Отсуствуют
не лежащих на	нет общих точек, не ле-	Отсуствуют
одной прямой	жащих на одной прямой

Тригонометрические

С тригонометрическими функциями вы уже имели дело на уроках гео метрии. До сих пор их приложения, в основном, ограничивались решени ем треугольников, то есть речь шла о нахождении одних элементов тре угольника по другим. Из истории математики известно, что возникновение тригонометрии связано с измерением длин и углов. Однако, теперь сфера

ее приложений намного шире, чем в древности.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих τριγωνον

(trigonon) – треугольник и µετρεω (metreo) - меряю, изме-

ряю. Буквально оно означает измерение треугольников.

В этой главе систематизируется материал, уже известный вам из кур са геометрии, продолжается изучение тригонометрических функций и их приложений для характеристики периодических процессов, в частности, вращательного движения, колебательных процессов и т. п.

Большинство применений тригонометрии касаются именно перио дических процессов, то есть процессов, повторяющихся через равные промежутки времени. Восход и закат Солнца, изменения времен года, вращения колеса - это простейшие примеры таких процессов. Меха нические и электромагнитные колебания являются также важными при мерами периодических процессов. Поэтому исследование периодических процессов - важное задание. И роль математики в его решении является определяющей.

готовимся к изучению темы «Тригонометрические функции»

Изучение темы «Тригонометрические функции» целесообразно начать с повторения определений и свойств тригонометрических функций углов треугольников и их применений для решения как прямоугольных, так и произвольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов прямоугольного

треугольника

Таблица 24

Синусом острого угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = a c .

Косинусом острого угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cosα = b c .

Тангенсом острого угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg α = a b .

Котангенсом острого угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgα = a b .

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0° до 180°

Таблица 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; ctg α = x y .

(х ; у ) - координаты точки А , расположенной на верхней полуокружности, α - угол, образованный радиусом ОА окружности с осью х .

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

некоторых углов

Таблица 26

Угол t

0°

90°

180°

sin t

cos t

tg t

ctg t

Тригонометрические функции

Решение произвольных треугольников

Таблица 27

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

sina α = sinb β = sinc γ .

Теорема косинусов

Квадрат произвольной стороны треугольника равен суммеквадратовдвухдругихсторонбезудвоенногопроизведения этих сторон на косинус угла между ними:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ , b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cosβ , a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cosα .

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними:

S = 1 2 ab sin γ = 1 2 ac sin β = 1 2 bc sin α .

Основные тригонометрические тождества

Таблица 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

sin2 α + cos2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 + tg α = cos 2 α

Дан треугольник АВС , С = 90°, ВС = 3 , АВ = 2. Чему рав-

В?

Б. 45 °.

В. 60 °.

А. 30 °.

Г. Невозможно вычислить без вычислительных средств.

Дан треугольник

АВС, С

ВС = 3,

В = 60°. Чему рав-

АВ?

А. 3

Б. 6.

3 .

По данным сторонам прямоугольного треугольника найдите

косинус меньшего его угла: а = 3, b = 4, c

А. 0,8.

Какое из приведенных значений не может принимать коси-

нус острого угла?

7 − 1

7 2

А.

5. Сравните сумму синусов острых углов произвольного прямоугольного треугольника (обозначим ее через А ) с единицей.

< 1. Б. А = 1.

> 1. Г. Сравнить невозможно. Расположите по возрастанию числа: а = sin 30°, b = cos 30°,

= tg 30°.

< b < c . Б. a < c < b . В. c < a < b . Г. b < a < c .

Сравните без вычислительных средств острые углы α и β,7.

если: co sα =

,co sβ =

2 .

А. α < β.

Для каких острых углов синус меньше косинуса?

Для всех.

Для меньших 45°.

Для больших 45°.

Г. Ни для каких.

Чему равен cos

α, если α - острый угол прямоугольного тре-

угольника и sin α =

12 .

Длина тени дерева равна 15 м. Лучи Солнца образуют угол

30° с поверхностью Земли. Чему приближенно равна высота

дерева? Выберите наиболее точный результат.

Б. 13 м.

В. 7м.

Чему равно значение выражения

1 − x 2

при х = – 0,8?

Б. –0,6.

Г. ≈ 1,34.

Из формулы a 2 +b 2 = 4 выразите b < 0 через a .

А. b = 4 − a 2 .

Б. b = a 2 − 4 .

b = − a 2

− 4 .

b = − 4 − a 2 .

Точка А

расположена в ІІІ четверти на расстоянии 3 от оси х и

на расстоянии

10 от начала координат. Какие координаты

имеет точка А ?

Б. (−1; 3).

В. (−1; −3).

Г. (−3; −1).

следующих точек

принадлежит

окружности

x 2 + y 2

= 1?

Б. (0,5; 0,5).

. Г.

15. Укажите координаты точки А , лежащей на окружности радиуса 1 (см. рис.).

(−1; 0). Б. (1; 0).

(0; − 1). Г. (0; 1).А. В.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Две пересекающиеся плоскости

Определение:
Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают , и у них есть общие точки . В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия .

Две параллельные плоскости

Определение:
Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек .

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости .

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу , заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости , заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике .

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

Параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть a и b - данные плоскости, а 1 и а 2 – прямые в плоскости a , пересекающиеся в точке А , b 1 и b 2 соответственно параллельные им прямые в плоскости b . Допустим, что плоскости a и b не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой с . Прямая а 1 параллельна прямой b 1 , значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая а 2 параллельна прямой b 2 , значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая с принадлежит плоскости a , значит хотя бы одна из прямых а 1 или а 2 пересекает прямую с, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая с также принадлежит и плоскости b , значит, пересекая прямую с, прямая а 1 или а 2 пересекает плоскость b , чего быть не может, так как прямые а 1 и а 2 параллельны плоскости b . Из этого следует, что плоскости a и b не пересекаются, то есть они параллельны.

Теорема 1 . Если две параллельные плоскости пересекаются третей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство. Пусть a и b - параллельные плоскости, а g - плоскость, пересекающая их. Плоскость a пересеклась с плоскостью g по прямой а. Плоскость b пересеклась с плоскостью g по прямой b . Линии пересечения а и b лежатв одной плоскости g и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть a и b - параллельные плоскости, а а и b – параллельные прямые, пересекающие их. Через прямые а и b проведем плоскость g (эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причем только одну). Плоскость a пересеклась с плоскостью g по прямой АВ. Плоскость b пересеклась с плоскостью g по прямой СД.По предыдущей теореме прямая с параллельна прямой d . Прямые а, b , АВ и СД принадлежат плоскости g .Четырехугольник, ограниченный этими прямыми,есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть АД = ВС

( I курс)

Преподаватель математики ПУ№3

Туаева З.С.

2015г.

Тема урока “Параллельность плоскостей”

Тип урока: урок усвоения нового материала.

Основная цель:

Ввести понятие параллельных плоскостей.

Доказать признак параллельности двух плоскостей.

Рассмотреть свойства параллельных плоскостей.

Задачи:

Обучающие :

Сформировать навык применения признака параллельности двух плоскостей и изученных свойств параллельных плоскостей при решении задач.

Развивающие :

Развитие пространственного воображения обучающихся,

Развитие мыслительной деятельности обучающихся.

Развитие логичного, рационального, критичного, творческого мышления и познавательных способностей обучающихся.

Воспитательные :

Воспитание аккуратности, графической грамотности.

Использование новых образовательных технологий: использование технологии проблемного обучения.

План урока

II . Изучение нового материала на интерактивной доске с моделью:

Определение параллельных плоскостей.

Признак параллельности двух плоскостей.

Свойства параллельных плоскостей.

Беседа с учащимися по вопросам, при которой преподаватель, систематически создавая проблемные ситуации и организуя деятельность учащихся по решению учебных проблем, обеспечивает оптимальное сочетание их самостоятельной, поисковой деятельности с усвоением готовых выводов науки.

III . Формирование умений и навыков

Решение учащимися задач на применение признака параллельности двух плоскостей и свойств параллельных плоскостей . Самостоятельная работа для контроля усвоенного и проведения первичного закрепления материала

IV . Домашнее задание

Комментарии учителя по домашнему заданию

Ход урока:

1. Сообщение темы и цели урока. Сообщение плана урока.

2. Этап актуализации знаний.

Вопросы к учащимся:

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

(Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек)

2. Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости?

(Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек)

3. Сформулируйте третью аксиому стереометрии?

(Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей)

4. Как могут располагаться две плоскости в пространстве?

(Две плоскости либо пересекаются по прямой (рис.1, а), либо не пересекаются (рис.1, б))

Рис.1, а Рис.1, б

3. Изучение нового материала.

1. Учебная проблема : дать определение параллельных плоскостей.

Учебная ситуация :

Вопросы к учащимся:

1. Сколько общих точек имеют две непересекающиеся плоскости?

(Ни одной общей точки)

2. Как называются плоскости, которые не имеют ни одной общей точки?

(Параллельные плоскости)

3. Сформулируйте определение параллельных плоскостей, учитывая количество их общих точек?

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

4. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки?

(Пол и потолок кабинета, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола)

2. Учебная проблема : сформулировать и доказать признак параллельности двух плоскостей.

Учебная ситуация :

Учащимся предоставляется модель параллелепипеда.

Вопросы к учащимся:

1. Какого взаимное расположение плоскостей и ?

(плоскости и параллельны)

2. Назовите любые две пересекающиеся прямые плоскости

(прямая АВ, прямая ВС)

3. Назовите прямые плоскости , параллельные прямым АВ и ВС ?

(
║
║

4. Какого взаимное расположение прямой АВ и плоскости ? Ответ обоснуйте.

(АВ║ по признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости (
), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (
║

Если учащиеся затрудняются обосновать ответ, то обратить их внимание на признак параллельности прямой и плоскости.

5. Какого взаимное расположение прямой ВС и плоскости ? Ответ обоснуйте.

(ВС║ по признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости(
), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости(
║
), то она параллельна самой плоскости)

6. Предположите, что плоскости и не параллельны. Как тогда они будут располагаться?

(плоскости будут пересекаться по некоторой прямой с)

7. Как в этом случае будут располагаться прямые АВ и с ?

(с ║АВ, согласно свойству
), параллельную другой плоскости (АВ║
║АВ))

8. Как в этом случае будут располагаться прямые ВС и с ?

(с ║ВС, согласно свойству : если плоскость проходит через данную прямую (
), параллельную другой плоскости (ВС║ ), и пересекает эту плоскость (
), то линия пресечения плоскостей параллельна данной прямой (с ║ВС))

9. Сколько прямых, параллельных прямой с , проходит через точку В ?

(Две прямые: прямая АВ, прямая ВС)

10. Возможно ли это?

(Это не возможно, так как по теореме о параллельных прямых: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна)

11. Какой вывод можно сделать? Верно ли наше предположение?

(Наше предположение не верно, остается признать, что ║)

12. Сколько прямых необходимо в плоскости , чтобы плоскости и были параллельны?

(две прямые)

13. Какие между собой должны быть эти прямые?

(пересекающиеся)

14. Скольким прямым они должны быть параллельны из плоскости ?

(Двум)

15. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей, учитывая количество прямых одной плоскости, параллельных прямым другой плоскости?

Результат умозаключения обучающихся:

3. Учебная проблема : сформулировать и доказать свойства параллельных плоскостей.

Учебная ситуация :

Вопросы к учащимся:

и ?

(плоскости параллельны)

по отношению к плоскостям и ?

(плоскость пересекает плоскости и )

3. Что вы можете сказать про линии пересечения плоскостей?

(линии пересечения плоскостей параллельны между собой)

4. Ответ обоснуйте, используя определение параллельных прямых в пространстве.

(прямые а и в лежат в одной плоскости и не пересекаются, так как, если бы прямые пересекались, то плоскости и имели бы общую точку, что невозможно, так как эти плоскости параллельны)

5. Сформулируйте первое свойство параллельных плоскостей, учитывая взаимное расположение линий пересечений а и в ?

Результат умозаключения обучающихся:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Учебная ситуация :

Учащимся предоставляется модель параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью.

Вопросы к учащимся:

1. Какого взаимное расположение плоскостей и ?

(плоскости параллельны)

2. Как располагается плоскость по отношению к плоскостям и ?

(плоскость пересекает плоскости и )

3. Что вы можете сказать про отрезки АВ и С D ?

(отрезки АВ и С D параллельны между собой)

4. Что вы можете сказать про отрезки АС и В D ?

(отрезки АС и В D параллельны между собой по свойству 1)

5. Как называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны?

(параллелограмм)

6. Какие свойства параллелограмма вы знаете?

в параллелограмме противоположные стороны и углы равны

Диагонали параллелограмма точкой пресечения делятся пополам

7. Что вы можете сказать про отрезки АВ и С D , используя первое свойство параллелограмма?

(отрезки АВ и С D равны между собой)

8. Сформулируйте второе свойство параллельных плоскостей, используя равенство отрезков АВ и С D ?

Результат умозаключения обучающихся:

Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны.

4. Формирование умений и навыков.

Решение задач

Задача № 1. (№ 54) (На отработку признака параллельности двух плоскостей)

Дано :

Доказать :

║

Найти :

Доказательство:

1.
- средняя линия
MN ║ AC .

2. NP – средняя линия
NP ║ CD .

MN ║ AC
( MNP )║( ADC ) по признаку параллельности 2 пл.

NP ║ CD

4.
подобен
по третьему признаку подобия треугольников (если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны)
(так как отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия)

Ответ :
.

Задача № 2. (№ 63(а)) (На отработку 1 свойства параллельных плоскостей)

Дано:

║

Найти:

Решение:

1. Докажем, что
║
.

Так как

║(по условию)

║
.(по 1 свойству параллельных плоскостей)

2. Докажем, что
подобен
.

, как соответственные при
║
.и секущей

Значит,
подобен
по 2 углам.

3. Найдем
.

По условию

4. Найдем
.

Составим пропорцию :

Ответ :

Задача № 3. (№ 65) (На отработку 2 свойства параллельных плоскостей)

Дано :

║

║
║

Определить :

вид четырехугольников

Доказать:

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник
.

║
(по условию)

=

четырехугольник

2. Рассмотрим четырехугольник
.

║
(по условию)

=
(как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, свойство 2)
четырехугольник
является параллелограммом (по 1 признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм)

3. Рассмотрим четырехугольник
.

║
(по условию)

=
(как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, свойство 2)
четырехугольник
отсекает от треугольника треугольник, подобный данному. : ║ Домашнее задание.

§ 10 (п. 10-11) стр. (20-21)

№ 53, № 63(б).

Учебник: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия 10, 11. Москва “ Просвещение ” , 2002.

6. Итог урока.

Сегодня на уроке мы ввели понятие параллельных плоскостей, самостоятельно доказали признак параллельности двух плоскостей, рассмотрели свойства параллельных плоскостей. Научились решать задачи на доказательство с применением признака параллельности двух плоскостей, применять изученные свойства параллельных плоскостей при решении задач.