Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.
Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.
Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.
Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .
Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.
Рассмотрим таблицу.
Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .
Примеры решения задач.
Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.
Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.
Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.
То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .
Рассмотрим другие задачи.
Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях
)
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.
Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ:
встретятся через 2 ч.
Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:
Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.
1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
Тема : Решение задач на движение (вдогонку)
Цель: Научиться решать задачи на движение.
Задачи:
Образовательные: Сравнивать различные виды движения: вдогонку, навстречу друг другу, в противоположных направлениях, с отставанием.
Отработать правила нахождения скорости сближения, удаления, вдогонку и с отставанием; зависимость между физическими величинами S
, t
и v
(словесные формулировки).
Воспитательные:
Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем мире.
Развивающие:
Развивать умение искать различные способы решения задач и выделять рациональные способы решения. Развивать критическое мышление.
Тип урока : систематизация и обобщение знаний
Оборудование:
1. опорные схемы; формулы.
2. Распечатки тренажёра, теста.
3. Компьютер, проектор, экран
Ход урока.
I ) Организационный момент. - Начинается урок. Пусть он пойдёт ребятам впрок! II) Психологический настрой. - Давайте, ребята, задачи решать, Делить, умножать, прибавлять, вычитать. Запомните все, что без точного счета Не сдвинется с места любая работа. III) Актуализация знаний. Первая стадия ВЫЗОВ:
А) «Отсроченная отгадка»
Нужны ли нам умения решать задачи на движение?
Зачем они нам необходимы? (чтобы не опаздывать на встречи, уметь спланировать время выхода, рассчитать скорость движения, чтобы не было аварий, и т.д.)
Какие существуют виды задач?
Что общего и в чем различие этих задач?
Б) «Свои примеры»
Работа в парах. Игра «Светофор» (повторение связей между величинами: скорость, время, расстояние)
«Светофор» - повторение связей между величинами: S, V, t, Vсближения, Vудаления, Vсближения (движение вдогонку).
Каждый ученик берёт по 3 кружка из 6 предложенных (см. Приложение 1) и показывает кружок с символом другому ученику, тот рассказывает, как найти данную величину. Первый ученик его проверяет по обратной стороне кружка, где записан правильный ответ. Затем другой ученик показывает первому ученику свой кружок, поочерёдно взаимотренаж продолжается дальше.
Пересечение тем. Игра «Точный бросок» - Чтобы правильно рассчитать скорость объекта движения, время или расстояние нужно уметь быстро и точно считать устно. Посчитаем устно. Игра «Точный бросок»
678+24= 248:4= 362-246= 64+474= 808 -537=
218*3= 415-204= 545+85= 515:5= 124*5=
IV) Постановка учебной задачи
Сегодня на уроке будем совершенствовать свои умения решать и составлять задачи на движение встречное, в противоположных направлениях и вдогонгку. Подготовимся к «Блиц – турниру»
V) Закрепление
Вторая стадия ОСМЫСЛИВАНИЕ
А) Фронтальная работа.
Возьмите карточку №1, рассмотрите первую схему. (см. Приложение 2)
Как двигаются объекты? (Навстречу друг другу)
Как изменяется расстояние? (Оно уменьшается)
Какую скорость будем находить? (Скорость сближения)
Как её найдем? (Скорости двух объектов сложим)
Карточка №1
13 км/ч 15 км/ч
Км t встр.=3ч
t встр.=
Составьте по схеме взаимообратные задачи и решите их.
Коллективная проверка
Какое движение рассмотрели? (Встречное)
Какую скорость находили? (Скорость сближения)
Физминутка: Мы на пояс руки ставим, локти в стороны расставим. Повороты начинаем. Правый локоть наблюдаем, теперь левый замечаем. Правый, левый, правый, левый. Плечики не поднимаем, головою лишь вращаем. Перед грудью руки сводим, пальцы глазками находим. Руки плавно поднимаем, глазками их провожаем. Опускаем, поднимаем, только глазками вращаем, голову не поднимаем. Воздух плавно выдыхаем.
VI) Закрепление
Работа в парах.
Рассмотрите карточку №2.
Карточка № 2.
a км/ ч b км/ ч
а + b 4
(а + b) 4
a 4 + b 4
t = 4 ч
Км
а км/ ч
Км/ ч
с км
t = 4 ч
(а + b) 4
c : 4 – а
(с – а 4) : 4
а км/ ч
b км/ ч
c км
t = ? ч
с: (а + b)
c : а + с: b
с: а – с: b
Км/ ч
b км/ ч
с км
t = 4 ч
(c – b 4) : 4
(а + b) 4
c : 4 - b
Определите по схеме как двигаются объекты? (В противоположных направлениях.)
Как изменяется расстояние? (Оно увеличивается.)
Какую скорость находим? (Скорость удаления.)
Как находим? (Скорости объектов складываем.)
Работаем в парах по алгоритму.
Алгоритм работы: Iв IIв, IIв Iв.
Б) Прием Инсерт
Давайте проверим ваши предположения
Прочитайте текст, используя значки:
V уже знал
Новое
Думал иначе
Не понял
Текст читается индивидуально.
СКОРОСТЬ (словарь) –
та или иная степень быстроты движения
та или степень быстроты какого-нибудь действия вообще
расстояние, пройденное в единицу времени.
Скорость - это расстояние, пройденное в единицу времени. Скорость можно измерить и сравнить, значит, скорость является величиной. В качестве единиц измерения скорости обычно используют такие единицы, как метр в секунду (м/с), метр в минуту (м/мин), километр в час (км/ч) и т. д.
Название единицы скорости образуется из единицы длины и единицы времени. Но бывают и другие единицы скорости, имеющие особые названия. Например, моряки измеряют скорость движения в "узлах" (1 узел примерно равен 2 км/ч).
Чем больше скорость предмета, тем меньше он находится в пути. Различные тела движутся с разной скоростью. Например, средняя скорость поезда 100 км в час, человек движется со средней скоростью 4км в час, автомобиль в городе – 60 км в час. В животном мире рекордсменами скорости являются гепард – 70 км в час и улитка – 1,5 мм в секунду. Скорости измеряются различными приборами: спидометром – автомобиль, лагом - корабль, скоростомером - поезд, анемометром измеряют скорость воздушных потоков, для современных велосипедов придумали компьютерный спидометр.
В) Работа у доски
Задача 1
Миша начал догонять Борю, когда расстояние между нами было 100м. Миша идёт со скоростью 80м/мин, а Боря – со скоростью 60м/мин. Через Сколько времени Миши догонит Борю?
Задача 2
Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 часа после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся Пункты А и В?
VII) Рефлексия
Чему мы учились на уроке?
Что вам понравилось?
Что было трудно?
Прикрепите свой флажок к рисунку, который выражает ваше настроение
VIII) Домашнее задание. Идеальное задание.
Придумай задачу на движение вдогонку, в которой надо узнать:
а) время встречи;
б) скорость одного из движущих объектов;
в) первоначальное расстояние между ними.
Цель урока: познакомить учащихся с новым видом задач на движение (вдогонку).
- обучающие : учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей, строить высказывания, продолжать учиться называть цели конкретного задания, алгоритм (план работы), проверять, исправлять и оценивать результаты работы так, как это было описано ранее.
- развивающие : способствовать развитию математического мышления, познавательной активности обучающихся, умения пользоваться математической терминологией.
- воспитательные : продолжить работу по воспитанию взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата;
- воспитывать внимание, самостоятельность, самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к предмету.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Методы и приемы: словесные, наглядные, частично-поисковые.
Используемые учебники и учебные пособия: Учебник “Математика” Алматы “Атамра” 2011
Используемое оборудование:
- интерактивное оборудование (мультимедийный проектор), компьютер,
- интер.доска.
Ход урока
1. Вводно-мотивационная часть
Всем она давно знакома -
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.
Какое действие совершают машины по дороге?
Прочитайте дружно, хором наш девиз:
Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!
2. Актуализация знаний. Минутка чистописания
Запишите формулы нахождения расстояния, скорости и времени.
Чем отличаются величины: расстояние и скорость?
- Расстояние – это путь, пройденный за несколько единиц времени;
- Cкорость – это путь, пройденный за одну единицу времени
3. Устный счёт (задачи на движение)
Задача №1
Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!
100 х 3 = 300 (км)
Задача №2
За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!
1) 35: 5 = 7 (км/ч)
2) 7 х 8 = 56 (км)
Задача №3
Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?
Решение: 100: 5 = 20 (час.)
Задача №4
Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?
Решение:
Лора не права!
500: 10 = 50 (км/ч)
4. Закрепление пройденного.
С какими видами движения вы знакомы?
Встречное движение
Движение в противоположных направлениях.
Движение с отставанием.
С какой темой мы познакомились на прошлых уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)
Работа по группам
(Группам раздаются карточки со схемами к задачам)
Задание: Какое направление движения соответствует решению?
14 км/ч+12км/ч=26км/ч
14 км/ч-12км/ч=2км/ч
5. Проблемная ситуация. Решите задачи по схемам.
Почему не удалось решить вторую задачу? - Это задача на движение вдогонку.
Не умеем находить скорость сближения при движении вдогонку.
Постановка учебной задачи.
Какова же тема нашего урока? Задачи на движение вдогонку.
Какие цели мы поставим?
- познакомиться со скоростью сближения при движении вдогонку;
- научиться решать задачи на движение вдогонку.
7. “Открытие” учащимися нового знания.
а) Работа над задачей стр. 230 №3
Вначале понаблюдаем, что происходит с объектами при движении вдогонку. Заполним таблицу, чтобы сделать верные выводы.
(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым лучом, таблица у каждого ученика.)
Прочитайте условие вслух.
Из городов, длина пути между которыми 240км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 56км/ч. Сколько километров будет между ними через 2 часа?
Разбор задачи:
В какой точке находится автомобиль? В точке 0.
А автобус? В точке 240.
Какое между ними расстояние до начала движения? 240 км
Занесите в таблицу.
Покажите на числовом луче, где будет находиться автомобиль через час.
В точке 80.
И где через час будет находиться автобус. В точке 296 .
Как изменилось расстояние между ними? Расстояние между объектами за каждую единицу времени будет уменьшаться на одно и то же число.
Как это записать? (Vб - Vм)
Составьте выражение и внесите запись в таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км
Покажите на числовом луче, в каких точках будут находиться автомобиль и автобус через два часа. В точках 160 и 352
Как изменилось расстояние между объектами через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2
Узнайте, какое расстояние стало между ними через два часа, запишите выражение в таблицу 240 – (80-56) x 2 = 192 км
Сделайте вывод, с помощью какой формулы мы узнали, как изменяется расстояние при движении вдогонку? d = S – (V 1 – V 2) x t
Запишите формулы зависимости между величинами: S, t, V.
Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,
t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2
d = S – (V 1 – V 2) x t
8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9
9. Рефлексия.
Что такое скорость сближения.
(- Скорость сближения – расстояние, при котором объекты сближаются за единицу времени.)
Как найти скорость сближения при движении вдогонку?
Vсбл = (Vб – Vм),
Какие еще знания необходимы, чтобы успешно решать задачи на движение вдогонку?
Sп = Vсбл. x t,
t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2
Для этой главы мы будем считать, что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах и т. д., движущиеся тела считаются материальными точками.
Основная формула равномерного движения:
S = v · t ,
Где S – путь, t – время, v – скорость.
ПУТЬ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ СКОРОСТИ НА ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ
Если известны расстояние и время, то скорость находится по формуле: v = S /t;
если известны расстояние и скорость, то время находится по формуле: t = S / v
Основные типы задач на движение:
1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),
2) задачи на движение по замкнутой трассе,
3) задачи на движение по воде,
4) задачи на среднюю скорость,
5) задачи на движение протяженных тел.
Рассмотрим более подробно каждый из этих типов задач, выделив, где необходимо, базовые задачи.
Движение навстречу друг другу
Одним из методов решения задач является создание упрощенной модели. или иллюстративного чертежа.
Если расстояние между двумя телами равно s, а их скорости v1 и v2, то время t, через которое они встретятся, находится по формуле t = S/(v1 + v2) .
Рассмотрим задачу
ЗАДАЧА 1 Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Посмотрите на схему, через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435 - 60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время, которое определим по формуле t = S/(v1 + v2)
t = 375(км) /(60 (км/ч) + 65 (км/ч)) = 3 (ч)
Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и проедет путь S = v · t
S = v · t = 60 (км) · 4 (ч) = 240 (км).
Движение вдогонку
Если расстояние между двумя телами равно s, и они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2) так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле t = S/(v1 - v2
).
Рассмотрим задачу
ЗАДАЧА 2 Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, (СИ = 0,3 км) , находим по формуле
t = S/(v1 - v2)
t = 0,3 (км)/(v + 1,5 км/ч - v) = 0,3 (км)/1,5 (км/ч) = 0,2 (ч)
Следовательно, это время составляет 0,2 (ч) или 12 минут.
Движение по воде
Особые виды задач на движение – движение тел по воде. При решении задач на движение по воде необходимо помнить следующее:
Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки.
Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.
Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).
Рассмотрим задачу.
ЗАДАЧА 3 Тоша в 7 часов утра отплыл от пристани «Веселые собачки» на плоту вниз по течению реки. Через 8 часов Филя отплыл от этой же пристани на моторной лодке со скоростью 25 км/час и через два часа догнал Тошу. Найти скорость течения реки.
Решение.
S = v · t = 25 (км/ч) · 2 (ч) = 50 (км) – проплыл Филя до встречи с Тошей.
8 (ч) + 2 (ч) = 10 (ч) – плыл Тоша, пока его не догнал Филя.
v = S/ t = 50 (км) · 10 (ч) = 5 (км/час) – скорость, с которой плыл Тоша на плоту. Это и есть скорость течения реки (собственная скорость плота равна нулю).
Ответ: 5 км/ч.
ЗАДАЧА 4
Пловец, плывя против течения реки, потерял часы. Он заметил пропажу, развернулся и догнал их, проплыв по течению 30 минут. Чему равна скорость течения реки, если он их догнал в 2 километраx от места потери? Ответ запишите в км/ч.
Решение задачи
Относительно часов пловец плывёт с постоянной скоростью, поэтому 2 километра часы проплыли за 60 минут, то есть за 1 час. Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист (при этом велосипедист еще не проехал точку А). Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км\ч.
Решение задачи
До первой встречи велосипедист провел на трассе 48 минут, а мотоциклист 8 минут, то есть в 6 раз меньше. Пусть скорость мотоциклиста равна v км\ч, тогда скорость велосипедиста равна 1/6v.
Еще через 36 минут, то есть через 3/5 часа после первой встречи, мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз, следовательно, за это время мотоциклист проехал на 1 круг больше. Поэтому
(v − 1/6v)⋅3/5 = 30.
Чтобы добраться на работу Борис Викторович идёт пешком на автобусную остановку, куда в 7 утра подъезжает служебный автомобиль и отвозит его на работу. Однажды в понедельник, Борис Викторович пришёл на остановку в 6 утра, пошёл навстречу машине и приехал на работу на 30 минут раньше. Сколько минут Борис Викторович шёл пешком, если скорости его и автомобиля постоянны?
Решение задачи
Маршрут Бориса Викторовича в понедельник отличается пройдённым расстоянием пешком. Значит сэкономленные 30 минут - время, за которое автомобиль дважды преодолевает это расстояние. Поэтому одно такое расстояние автомобиль преодолевает за 15 минут (иными словами, автомобиль сэкономил 15 минут) и Борис Викторович встретился с автомобилем в 6:45 и шёл 45 минут пешком.
План-конспект урока по математике по теме: «Движение вдогонку»
Урок по образовательной системе «Школа 2100»
Разработала: Коженкина
Александра Сергеевна
Цели урока:
- 1. Образовательные:
- · научить решать задачи на движение вдогонку;
- · научить составлять задачи на движение вдогонку.
- 2. Развивающие:
- · Развивать логическое мышление, память, внимание, навыки устных и письменных вычислений, самоанализа и самоконтроля;
- 3. Развивать познавательный интерес, умение переносить знания в новые условия.
- 4. Воспитательные:
- · Создать условия для воспитания коммуникативной культуры, умение выслушивать и уважать мнения других;
- · Воспитывать ответственность, любознательность, усидчивость, познавательную активность, доброе отношение к своим одноклассникам;
- · Формировать потребность в здоровом образе жизни.
Формирование УУД:
- · Личностные действия: (самоопределение, смыслообразование, нравственно-этическая ориентация);
- · Регулятивные действия: (целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция);
- · Познавательные действия: (общеучебные, логические, постановка и решение проблемы);
- · Коммуникативные действия: (планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, разрешение конфликтов, управление поведением партнера, умение с достаточной точностью и полнотой выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации).
Оборудование:
- · Карточки для работы на разных этапах урока;
- · Презентация;
- · Учебник и рабочая тетрадь.
ХОД УРОКА
1. Самоопределение к деятельности.
Первое - предлог,
Второе - летний дом,
А целое порой
Решается с трудом.
- - Что это?
- - Задача.
- - Значит, чем мы будем заниматься на уроке?
- - Решать задачи.
- - Да, сегодня мы с вами продолжаем знакомиться с темой движения, и будем решать задачи нового типа.
- - Но для начала нам надо подкрепить наш вычислительный аппарат.
- 2. Актуализация знаний
- - Представьте, что вы кругосветные путешественники. «Почему?» - спросите вы. Да, потому, что каждый из вас успел в своей жизни, сам того не подозревая, пройти пешком путь, равный окружности земного шара. Не верите? Давайте вместе и проверим.
t = 5 ч-1 день - 25 км-V = 8000 км/год
V = 5 км/ч-360 дней - ? км-S = 40000 км
- S - ? км-t - ? лет
- - В течение дня вы проводите на ногах не менее 5 часов. При средней ходьбе человек проходит 5 км/ч. Сколько километров проходит человек за день?
- - 25 км.
- - Определите, какой путь проходит каждый из нас в течение года.
- - 25 * 360 = 9000 (км)
- - Какое правило используем для вычисления?
- - Умножение суммы на число.
- - Человек, никогда не покидавший родного города, ежегодно проходит пешком 8000 - 9000 километров. Окружность Земного шара имеет длину 40000 километров. Вычислите, во сколько лет совершаем мы пешеходное путешествие, равное кругосветному?
- - 40000: 8000 = 5 (лет)
- - Будем считать, что человек начинает ходить с 2-х летнего возраста. Во сколько лет вы совершите 2 таких кругосветных путешествия?
- - В 12 лет.
- - Дожив до 60 лет, мы 10 раз обойдем вокруг Земного шара, т.е. пройдем путь, более длинный, чем расстояние от Земли до Луны.
- - Какими понятиями мы пользовались?
- - Скорость, время, расстояние.
- - Как найти скорость?
Как найти время?
- - Как найти расстояние?
- S = v * t
- - Сегодня, эти понятия помогут нам в решении задач.
- - Внимание на доску:
Что можете сказать об этих схемах?
- - Два объекта движутся навстречу друг другу и в противоположных направлениях.
- - Какие понятия помогут нам решить задачи по этим схемам?
- - Внимание на доску:
Скорость сближения
V сбл. = V 1 + V 2
Скорость удаления
V удал. = V 1 - V 2
- - Что такое скорость сближения?
- - (Ответы детей)
- - Что такое скорость удаления?
- - (Ответы детей)
- - Составьте выражение и найдите его значение:
Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 4 часа? Когда произойдет встреча?
3. Постановка учебной задачи
движение скорость расстояние удаление
- - Какое задание выполняли?
- - Находили расстояние между велосипедистом и автобусом через 4 часа после их выхода.
- - Как они двигались?
- - Одновременно вдогонку.
- - Почему вы не смогли найти это расстояние?
- - У нас нет алгоритма его выполнения.
- - Что же нам сделать, чтобы решить задачу - поставьте перед собой цель.
- - Нам надо построить алгоритм нахождения расстояния между объектами при движении вдогонку.
- - Сформулируйте тему урока.
- - Движение вдогонку.
- 4. «Открытие нового знания»
№1, стр.97.
- - Прочитайте задачу.
- а) Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч? Когда произойдет встреча?
Закончи построения на координатном луче и обозначь место встречи флажком. Заполни таблицу и запиши формулу зависимости расстояния d между автобусом и велосипедистом от времени движения t.
- б) Как найти время до встречи с помощью вычислений? Докажи.
- в) Запиши формулу зависимости между величинами и
- - Какое расстояние было между велосипедистом и автобусом в самом начале?
- - 200 км.
- - Какова их скорость сближения? Заполните в учебнике.
- - V сбл. = 60 - 10 = 50 (км/ч)
- - Что показывает скорость сближения 50 км/ч?
- - Она показывает, что велосипедист и автобус за каждый час сближаются на 50 км.
- - Как же узнать, каким оно стало через 1 час?
- - Надо 50 км вычесть из 200 км, получим 150 км.
- - Что же будет происходить дальше?
- - Потом они сблизятся еще на 50 км, потом еще на 50 км и т.д.
- - Как же определить расстояние через 2 ч, 3 ч?
- - Надо из 200 вычесть 50 * 2, 50 * 3.
- - Закончите заполнение таблицы.
- - 200 - (60 - 10) * 2 = 100
- - 200 - (60 - 10) * 3 = 50
- - 200 - (60 - 10) * 4 = 0
- - 200 - (60 - 10) * t = …
- - Запишите формулу расстояния d между велосипедистом и автобусом в момент времени t.
- - d = 200 - (60 - 10) * t, или d = 200 - 50 * t.
- - Что произошло через 4 часа?
- - Велосипедист и автобус встретились.
- - Как это вычислить по формуле, не используя построений?
- - Расстояние в момент встречи равно 0, значит, t встр. = 200: (60 - 10).
- - Запишите это равенство, используя знак умножения.
- - 200 - (60 - 10) * t встр.
Полученные равенства фиксируются на доске:
d = 200 - (60 - 10) * t
- 200 = (60 - 10) * t встр.
- - Обозначьте первоначальное расстояние (200 км) буквой s, а скорости велосипедиста и автобуса (10 км/ч и 60 км/ч) - v 1 и v 2 и запишите полученные равенства в обобщенном виде.
Число 200 закрывается в равенствах на доске буквой s, а числа 10 и 60 - буквами v 1 и v 2 . Получаются формулы, которые на данном уроке можно использовать как опорные конспекты:
d = s - (v 1 - v 2) * t
- s = (v 1 - v 2) * t встр.
- - Эти формулы можно перевести с математического языка на русский в форме правил:
- 1) Чтобы при одновременном движении вдогонку найти расстояние между двумя объектами в данный момент времени, можно из первоначального расстояния вычесть скорость сближения, умноженную на время в пути.
- 2) При одновременном движении вдогонку первоначальное расстояние равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.
Данные правила не должны заучиваться формально - это малопродуктивно, а должны воспроизводиться как выражение в речи смысла построенных формул. При этом каждая из формул хранит в себе богатейшую информацию о том, как найти значение любой из входящих в нее величин. Например, из второй формулы следует, что время до встречи равно первоначальному расстоянию, деленному на скорость сближения, а скорость сближения, наоборот, - первоначальному расстоянию, деленному на время до встречи. Таким образом, построенные формулы помогают решить практически любую задачу на одновременное движение вдогонку, поскольку в них показана связь между всеми существенными его характеристиками.
5. Первичное закрепление
Организуется комментированное решение задач на использование введенных алгоритмов: сначала фронтально, затем в группах или парах.
№2, стр. 98.
Решите задачу.
Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Миша идет со скоростью 80 м/мин, а Боря -- со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?
- 1) 80 - 60 = 20 (м/мин) - скорость сближения мальчиков;
- 2) 100: 20 = 5 (мин).
- 100: (80 - 60) = 5 (мин).
Ответ: Миша догонит Борю через 5 мин.
№4, стр. 98.
- - Составьте по схемам взаимно обратные задачи и решите их:
- 1 и 2 выполняются фронтально.
- 3 и 4 выполняются в группах или парах.
- 1) (115 - 25) * 3 = 270 (км);
- 2) 115 - 270: 3 = 25 (км/ч);
- 3) 270: (115 - 25) = 3 (ч);
- 4) 270: 3 + 25 = 115 (км/ч).
- 6. Самостоятельная работа.
Учащиеся проводят самоконтроль и самооценку усвоения ими построенного алгоритма. Они самостоятельно решают задачу на новый вид движения, проверяют и оценивают правильность своего решения и убеждаются в том, что новый способ действий ими освоен. В случае необходимости ошибки корректируются.
№3, стр. 98.
Решите задачу.
Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго поезда, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 ч после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты А и В?
- 1) 110 - 80 = 30 (км/ч) - скорость сближения поездов;
- 2) 30 * 4 = 120 (км).
- (110 - 80) * 4 = 120 (км).
Ответ: пункты А и В находятся на расстоянии 120 км друг от друга.
7. Включение в систему знаний и повторение
Выполняются задания на закрепление ранее изученного материала.
№6, стр. 98.
Решите задачу.
В бочку с водой проведен шланг, через который в нее вливается 9 ведер воды в час. Через другой шланг водой из бочки поливают огород, расходуя при этом 16 ведер воды в час. Через сколько времени опустошится полная бочка, вмещающая 21 ведро воды, если оба шланга начнут использоваться одновременно?
- 1) 16 - 9 = 7 (в./ч) - скорость уменьшения воды в бочке;
- 2) 21: 7 = 3 (ч).
- 21: (16 - 9) = 3 (ч).
Ответ: полная бочка опустошится через 3 часа.
- 8. Домашняя работа
- - Дома по новой теме нужно выучить опорные конспекты - то есть новую формулу и придумать и решить свою задачу на новый вид движения - движение вдогонку, аналогичную №2.
- - Дополнительно по желанию можно выполнить задачу №7.
№7, стр. 99
В кухне у Вовочки было 18 мух. Вовочка бьет мухобойкой 5 мух в минуту, и в кухню в то же время влетают 2 новые мухи. Через сколько времени в кухне не останется мух?