Praktičan rad na temu Inverzne trigonometrijske funkcije. "inverzne trigonometrijske funkcije"

Lekcije 32-33. Inverzne trigonometrijske funkcije

09.07.2015 6432 0

Cilj: razmatrati inverzne trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu za pisanje rješenja trigonometrijskih jednadžbi.

I. Priopćavanje teme i svrhe lekcija

II. Učenje novog gradiva

1. Inverzne trigonometrijske funkcije

Započnimo našu raspravu o ovoj temi sa sljedećim primjerom.

Primjer 1

Riješimo jednadžbu: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Na os ordinata nanesemo vrijednost 1/2 i konstruiramo kutove x 1 i x2, za koje grijeh x = 1/2. U ovom slučaju x1 + x2 = π, odakle je x2 = π – x 1 . Koristeći tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija, nalazimo vrijednost x1 = π/6, zatimUzmimo u obzir periodičnost funkcije sinusa i zapišimo rješenja ove jednadžbe:gdje je k ∈ Z.

b) Očigledno, algoritam za rješavanje jednadžbe grijeh x = a je isti kao u prethodnom paragrafu. Naravno, sada je vrijednost a iscrtana duž ordinatne osi. Postoji potreba da se nekako označi kut x1. Dogovorili smo se da taj kut označimo simbolom arcsin A. Tada se rješenja te jednadžbe mogu napisati u oblikuOve dvije formule mogu se kombinirati u jednu: pri čemu

Preostale inverzne trigonometrijske funkcije uvode se na sličan način.

Vrlo često je potrebno odrediti veličinu kuta iz poznate vrijednosti njegove trigonometrijske funkcije. Takav problem je višeznačan - postoji bezbroj kutova čije su trigonometrijske funkcije jednake istoj vrijednosti. Stoga, na temelju monotonosti trigonometrijskih funkcija, uvode se sljedeće inverzne trigonometrijske funkcije za jedinstveno određivanje kutova.

Arksinus broja a (arcsin , čiji je sinus jednak a, tj.

Arkus kosinus broja a(arccos a) je kut a iz intervala čiji je kosinus jednak a, tj.

Arktangens broja a(arctg a) - takav kut a iz intervalačiji je tangens jednak a, tj.tg a = a.

Arkotangens broja a(arcctg a) je kut a iz intervala (0; π), čiji je kotangens jednak a, tj. ctg a = a.

Primjer 2

Pronađimo:

Uzimajući u obzir definicije inverznih trigonometrijskih funkcija, dobivamo:

Primjer 3

Izračunajmo

Neka je kut a = arcsin 3/5, onda po definiciji sin a = 3/5 i . Stoga, moramo pronaći cos A. Koristeći osnovni trigonometrijski identitet, dobivamo:Uzima se u obzir da je cos a ≥ 0. Dakle,

Svojstva funkcije	Funkcija
Svojstva funkcije	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Domena	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Raspon vrijednosti	y ∈ [-π/2; π /2]	y ∈	y ∈ (-π/2; π/2)	y ∈ (0; π)
Paritet	Neparan	Ni par ni nepar	Neparan	Ni par ni nepar
Funkcijske nule (y = 0)	Na x = 0	Na x = 1	Na x = 0	y ≠ 0
Intervali predznaka	y > 0 za x ∈ (0; 1], na< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 za x ∈ [-1; 1)	y > 0 za x ∈ (0; +∞), na< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 za x ∈ (-∞; +∞)
Monotonija	Povećavajući se	Silazni	Povećavajući se	Silazni
Veza s trigonometrijskom funkcijom	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Raspored

Navedimo još nekoliko tipičnih primjera vezanih uz definicije i osnovna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.

Primjer 4

Nađimo domenu definicije funkcije

Da bi funkcija y bila definirana potrebno je zadovoljiti nejednakostšto je ekvivalentno sustavu nejednakostiRješenje prve nejednadžbe je interval x∈ (-∞; +∞), drugi - Ovaj jaz i rješenje je sustava nejednadžbi, a time i domena definiranja funkcije

Primjer 5

Nađimo područje promjene funkcije

Razmotrimo ponašanje funkcije z = 2x - x2 (vidi sliku).

Jasno je da je z ∈ (-∞; 1]. S obzirom na to da argument z inverzna tangens funkcija se mijenja unutar navedenih granica, iz tabličnih podataka to dobivamoDakle, područje promjene

Primjer 6

Dokažimo da je funkcija y = arctg x neparan. NekaTada je tg a = -x ili x = - tg a = tg (- a), i Prema tome, - a = arctg x ili a = - arctg X. Dakle, vidimo datj. y(x) je neparna funkcija.

Primjer 7

Izrazimo kroz sve inverzne trigonometrijske funkcije

Neka Očito je da Tada od

Predstavimo kut Jer Da

Isto tako stoga I

Tako,

Primjer 8

Izgradimo graf funkcije y = cos(arcsin x).

Označimo tada a = arcsin x Uzmimo u obzir da je x = sin a i y = cos a, tj. x 2 + y2 = 1, i ograničenja na x (x∈ [-1; 1]) i y (y ≥ 0). Tada je graf funkcije y = cos(arcsin x) je polukrug.

Primjer 9

Izgradimo graf funkcije y = arccos (cos x ).

Budući da funkcija cos x promjene na intervalu [-1; 1], tada je funkcija y definirana na cijeloj numeričkoj osi i varira na segmentu . Imajmo na umu da je y = arccos(cosx) = x na segmentu; funkcija y je parna i periodična s periodom 2π. S obzirom da funkcija ima ova svojstva cos x Sada je lako izraditi grafikon.

Zabilježimo neke korisne jednakosti:

Primjer 10

Nađimo najmanju i najveću vrijednost funkcije Označimo Zatim Idemo dobiti funkciju Ova funkcija ima minimum u točki z = π/4, a jednak je Najveća vrijednost funkcije postiže se u točki z = -π/2, i jednak je Dakle, i

Primjer 11

Riješimo jednadžbu

Uzmimo to u obzir Tada jednadžba izgleda ovako:ili gdje Po definiciji arktangensa dobivamo:

2. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi

Slično primjeru 1, možete dobiti rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Jednadžba	Riješenje


tgx = a
ctg x = a

Primjer 12

Riješimo jednadžbu

Budući da je funkcija sinus neparna, jednadžbu zapisujemo u oblikuRješenja ove jednadžbe:odakle to nalazimo?

Primjer 13

Riješimo jednadžbu

Koristeći zadanu formulu, zapisujemo rješenja jednadžbe:i naći ćemo

Imajte na umu da u posebnim slučajevima (a = 0; ±1) pri rješavanju jednadžbi sin x = a i cos x = i lakše je i praktičnije koristiti ne općenite formule, već zapisivati rješenja temeljena na jediničnom krugu:

za jednadžbu sin x = 1 rješenje

za jednadžbu sin x = 0 rješenja x = π k;

za jednadžbu sin x = -1 rješenje

za cos jednadžbu x = 1 rješenja x = 2π k ;

za jednadžbu cos x = 0 rješenja

za jednadžbu cos x = -1 rješenje

Primjer 14

Riješimo jednadžbu

Budući da se u ovom primjeru radi o posebnom slučaju jednadžbe, rješenje ćemo napisati odgovarajućom formulom:odakle to nalazimo?

III. Kontrolna pitanja (frontalna anketa)

1. Definirati i navesti glavna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.

2. Navedite grafove inverznih trigonometrijskih funkcija.

3. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

IV. Zadatak lekcije

§ 15, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, br. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Domaća zadaća

§ 15, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, br. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreativni zadaci

1. Pronađite domenu funkcije:

odgovori:

2. Pronađite raspon funkcije:

odgovori:

3. Grafički nacrtajte funkciju:

VII. Sažimanje lekcija

Općinska obrazovna ustanova Gimnazija br. 2

Profesor matematike

Gabrielyan Zhasmena Artushovna

Objašnjenje.

Predloženi program izbornog predmeta izrađen je za učenike specijalističkih (10.-11.) razreda fizike i matematike i predviđen je za 17 sati; od čega je 9 sati predviđeno za proučavanje teoretskog gradiva, 8 sati predviđeno za praktičnu nastavu. Na kraju izučavanja ovog nastavnog predmeta studenti polažu ispit koji se sastoji od teorijskog i praktičnog dijela. Program je namijenjen studentima koji su odabrali specijalnost u kojoj matematika igra ulogu glavnog aparata, specifičnog sredstva za proučavanje zakona okolnog svijeta i pitanja vezanih uz gospodarsku aktivnost.

Namjena artikla: generalizacija i sistematizacija, proširivanje i produbljivanje znanja općeg obrazovnog programa iz matematike na temu “Inverzne trigonometrijske funkcije”, stjecanje praktičnih vještina u izvođenju zadataka s inverznim trigonometrijskim funkcijama, povećanje razine matematičke osposobljenosti učenika.

Ciljevi predmeta:

Razvijati misaone i kreativne sposobnosti učenika;

Uvesti studente u primjenu teorijskih znanja u rješavanju natjecateljskih i olimpijadnih zadataka;

Uključiti studente u samostalan rad;

Naučiti studente radu s referentnom i znanstvenom literaturom;

Naučiti izraditi ispitni rad pomoću računalne tehnologije;

Promicati razvoj algoritamskog mišljenja učenika;

Promicati formiranje kognitivnog interesa za matematiku.

Zahtjevi za razinu vladanja nastavnim gradivom.

Kao rezultat proučavanja programa izbornog predmeta „Inverzne trigonometrijske funkcije“ studenti:

mora znati : definicije inverznih trigonometrijskih funkcija; osnovna svojstva i formule inverznih trigonometrijskih funkcija; metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije;

mora moći : primijeniti definicije, svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija pri rješavanju natjecateljskih i olimpijadnih zadataka; čitati i konstruirati grafove funkcija čiji analitički izraz sadrži pojmove arksinusa, arkkosinusa, arktangensa; rješavati jednadžbe, nejednadžbe, sustave jednadžbi i nejednadžbi koji sadrže arksinus, arkosinus, arktangens.

Inverzna funkcija. Graf inverzne funkcije. Definicije inverznih trigonometrijskih funkcija: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Vrijednosti funkcija y=arcsinx i y=arccosx u točkama

Vrijednosti funkcije y=arctgx u točkama Pronalaženje brojčanih vrijednosti y=arctgx, y=arcsinx, y=arccosx pomoću računalne tehnologije.

Područje definiranja, skup vrijednosti, monotonost funkcija y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, neprekidnost, ograničenost, maksimalne i minimalne vrijednosti, ekstremi.

Grafovi funkcija y=arcsinx, y=arcosh, y=arctgh i s njima povezane funkcije Identiteti za inverzne trigonometrijske funkcije. Transformacije izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije iz njihovih inverza. Jednadžbe i nejednadžbe, sustavi jednadžbi i sustavi nejednadžbi koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije. Derivacije i antiderivacije inverznih trigonometrijskih funkcija. Proučavanje funkcija koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije i konstrukcija njihovih grafova.

Tematsko planiranje nastave tečaja

"Inverzne trigonometrijske funkcije"

	Tema lekcije	Broj sati
	Inverzna funkcija. Graf inverzne funkcije
	Definicija funkcija inverznih osnovnim trigonometrijskim funkcijama: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx
	Vrijednosti funkcija y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx u zadanim točkama
	Pronalaženje brojčanih vrijednosti arksinusa, arkkosinusa i arktangensa pomoću računalne tehnologije
	Svojstva funkcija y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx
	Grafovi funkcija y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx
	Osnovni odnosi između inverznih trigonometrijskih funkcija
	Izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija
	Dokaz identiteta na skupu koji sadrži inverzne trigonometrijske funkcije
	Pretvaranje izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije
	Rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije
	Rješavanje sustava jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije
	Rješavanje nejednadžbi koje uključuju inverzne trigonometrijske funkcije
	Rješavanje sustava nejednadžbi koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije
	Derivacije i antiderivacije inverznih trigonometrijskih funkcija
	Proučavanje funkcija koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije i crtanje njihovih grafova
	Probni rad

Književnost

1. Veresova E.E., Denisova N.S., Polyakova T.P. Radionica rješavanja matematičkih problema - Moskva “Prosvjetljenje”, 1979.

2. Ishkhanovich Yu.A. Uvod u modernu matematiku. Moskva "Nauka", 1965

3. Kuščenko V.S. Zbirka zadataka natjecanja iz matematike. Moskva “Prosvjetljenje”, 1979

4. Nikolsky S.M. Elementi matematičke analize. Moskva "Nauka", 1989

5. Pontrjagin L.S. Matematička analiza za školarce. Moskva "Nauka", 1983

6. Tsypkin A.G. Priručnik iz matematike. Moskva "Nauka", 1983

7. Tsypkin A.G., Pinsky A.I. Referentni vodič o metodama rješavanja matematičkih problema. Moskva “Nauka”, 1984

obrnuti funkcije tablica 3 Argument Funkcija sin  cos ... , tada biste trebali koristiti svojstva odgovarajućeg obrnutitrigonometrijskifunkcije, tada: Kada je a = 1; ...

Odjeljci: Matematika

Inverzne trigonometrijske funkcije naširoko se koriste u matematičkoj analizi.

Problemi vezani uz inverzne trigonometrijske funkcije često stvaraju značajne poteškoće srednjoškolcima. To je, prije svega, zbog činjenice da sadašnji udžbenici i nastavna pomagala ne posvećuju previše pozornosti takvim problemima, a ako se učenici još nekako nose s problemima izračunavanja vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija, onda jednadžbe i nejednakosti koje sadrže te funkcije često ih ostavljaju u nedoumici. Potonje nije iznenađujuće, budući da praktički nijedan udžbenik (uključujući udžbenike za razrede s produbljenim proučavanjem matematike) ne postavlja metodu za rješavanje čak i najjednostavnijih jednadžbi i nejednadžbi ove vrste. Predloženi program posvećen je metodama rješavanja jednadžbi i nejednadžbi te transformacije izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije.

Bit će korisna profesorima koji rade u srednjim školama – kako općeobrazovnih i matematičkih, tako i učenicima koje zanima matematika.

Ovaj tečaj proširuje osnovni tečaj matematike i pruža priliku da se upoznate sa zanimljivim pitanjima iz matematike. Pitanja koja se obrađuju u tečaju nadilaze okvire obveznog kolegija matematike. Istovremeno su usko povezani s glavnim jelom. Stoga će ovaj izborni predmet pridonijeti usavršavanju i razvoju matematičkih znanja i vještina učenika.

U izvođenju nastave treba koristiti tradicionalne oblike, kao što su predavanja i seminari, ali u prvom redu potrebno je donijeti organizacijske oblike kao što su rasprava, debata, izlaganja i pisanje sažetaka.

Mogućnosti završne certifikacije mogu biti sljedeće: testiranje, testovi, pisanje eseja na teme koje predlaže nastavnik; samostalni zadaci u kojima je potrebno samostalno istraživati, tematski kolokviji.

Ciljevi kolegija su stvaranje uvjeta za provedbu specijalističke izobrazbe; formiranje cjelovitog sustava matematičkog znanja i osnove za nastavak matematičkog obrazovanja na sveučilištima različitih profila.

Ciljevi tečaja:

proširiti opseg matematičkih znanja učenika;
proširiti učenikovo razumijevanje inverznih trigonometrijskih funkcija;
generalizirati osnovne metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije;
razmotriti metode za konstruiranje grafova inverznih trigonometrijskih funkcija.

Zahtjevi za razinu pripremljenosti studenata.

Učenici bi trebali znati:
– definicija inverznih trigonometrijskih funkcija, njihova svojstva;
– osnovne formule;
– metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije;
– metode konstruiranja grafova funkcija: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
Učenici moraju moći:
– primijeniti svojstva i osnovne formule inverznih trigonometrijskih funkcija;
– rješavati jednostavne jednadžbe i nejednadžbe;
– izvoditi transformacije izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije;
– primjenjivati različite metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi;
– rješavati jednadžbe i nejednadžbe s parametrima koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije;
– graditi grafove inverznih trigonometrijskih funkcija.

Dano tematsko planiranje tečaja je okvirno. Nastavnik može mijenjati broj sati dodijeljen proučavanju pojedinih tema, uzimajući u obzir razinu pripremljenosti učenika.

Tematsko planiranje

Predmet	Broj sati	Oblici obrazovnih aktivnosti
Inverzne trigonometrijske funkcije i njihova svojstva. Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.		Samostalan rad s nastavnom literaturom, seminarski sat.
Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija.		Praktični rad.
Pretvaranje izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije.		Analiza i analiza rješenja. Testiranje.
Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.		Seminarska lekcija.
Metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije.		Analiza i analiza rješenja. spor. Test.
Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže parametre.		Analiza i analiza rješenja. Rasprava.
Ponavljanje generalizacije		Izrada i zaštita projekta.
Završna kontrola tečaja.		Test. Obrana apstrakta.

“Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi. Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija."

Definicija inverznih trigonometrijskih funkcija, njihova svojstva. Određivanje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

"Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija."

Funkcijeg= arcsinx, g= arccosx, g= arctgx, g= arcctgx,njihovi grafikoni.

"Transformacija izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije."

Izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija. Provjera valjanosti jednakosti koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije. Pojednostavljivanje izraza koji sadrže slikesložene trigonometrijske funkcije» .

"Rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije."

Jednadžbe:arcsinx=a,arccosx=a,arctgx=a,arcctgx=a.
nejednakosti:arcsinx> ah,arccosx> ah,arctgx> ah,arcctgx> ah,arcsinx<а, arccosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

"Metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije."

Jednadžbe i nejednadžbe čije su lijeva i desna strana iste inverzne trigonometrijske funkcije. Jednadžbe i nejednadžbe čija su lijeva i desna strana suprotne inverzne trigonometrijske funkcije. Zamjena varijable. Korištenje monotonosti i ograničenosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

"Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže parametre."

Metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže parametre.

"Ponavljanje generalizacije."

Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi različitih razina.

Završna kontrola tečaja (2 sata).

Kontrolni rad može se prikazati u oblikutestovi u nekoliko verzija i različitih razina težine. Obrana sažetaka na zadane teme.

Literatura za studente:

Kramor V.S., Mikhailov P.A. Trigonometrijske funkcije. – M.: Obrazovanje, 1983.
Litvinenko V. N., Mordkovich A. G. Radionica rješavanja matematičkih problema. – M.: Obrazovanje, 1984.
Tsypkin A. G., Pinsky A. I. Referentni priručnik o metodama rješavanja problema za srednju školu. – M.: Nauka, 1983.
CD disk 1C: Tutor.Matematika. 1 dio.
Internetski izvori: Zbornik sažetaka.

Literatura za nastavnike:

Ershov V., Raichmist R.B. Crtanje grafova funkcija. – M.: Obrazovanje, 1984.
Vasilyeva V. A., Kudrina T. D., Molodozhnikova R. N. Metodološki priručnik o matematici za kandidate za sveučilišta. – M.: MAI, 1992.
Ershova A.P., Goloborodko V.V. Algebra. Početak analize. – M.: ILEKSA, 2003.
Zbirka zadataka iz matematike za natjecateljske ispite na fakultetima i visokim školama / Ured. M. I. Scanavi. – M.: Viša škola, 2003.
Časopisi "Matematika u školi".

Cilj:

Zadatak: Napravite test “Inverzne trigonometrijske funkcije”

Internet resursi

Rok isporuke - prema tehničkoj specifikaciji

Samostalni rad br. 14 (2 sata)

Na temu: "Istezanje i kompresija duž koordinatnih osi"

Cilj: usustavljivanje i učvršćivanje stečenih teorijskih znanja i praktičnih vještina učenika;

Zadatak: Sažetak na temu: “Ekstenzija i kompresija duž koordinatnih osi”

Literatura: A.G. Mordkovich “Algebra i počeci matematičke analize” 10. razred

Internet resursi

Rok isporuke - prema tehničkoj specifikaciji

Samostalni rad br. 15 (1 sat)

Na temu: "Istezanje i kompresija duž koordinatnih osi"

Cilj: formiranje neovisnog mišljenja, sposobnosti za samorazvoj, samousavršavanje i samoostvarenje

Zadatak: prezentacija: “Protezanje i sabijanje duž koordinatnih osi”

Literatura: A.G. Mordkovich “Algebra i počeci matematičke analize” 10. razred

Internet resursi

Rok isporuke - prema tehničkoj specifikaciji

Samostalni rad br. 16 (2 sata)

Na temu: “Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi”

Cilj: usustavljivanje i učvršćivanje stečenih teorijskih znanja i praktičnih vještina učenika

Obrazac za ispunjavanje zadatka: istraživački rad.

Literatura: A.G. Mordkovich “Algebra i počeci matematičke analize” 10. razred

Internet resursi

Rok isporuke - prema tehničkoj specifikaciji

Samostalni rad br. 18 (6 sati)

Na temu: “Formule s pola argumenta”

Cilj: produbljivanje i proširivanje teorijskih znanja

Zadatak: Napišite poruku na temu “Formule pola argumenta.” Napravite referentnu tablicu za trigonometrijske formule

Literatura: A.G. Mordkovich “Algebra i počeci matematičke analize” 10. razred

Internet resursi

Rok isporuke - prema tehničkoj specifikaciji

Naslovnica.

Plan rada je sastavljen pod nazivom “Sadržaj”; mjesto - u centru.

Popis bibliografskih izvora nalazi se pod naslovom Literatura. Popis literature mora sadržavati sve korištene izvore: podaci o knjigama (monografije, udžbenici, priručnici, literatura i sl.) moraju sadržavati: prezime i inicijale autora, naslov knjige, mjesto izdanja, izdavača, godinu izdanja. Ako su tri ili više autora, dopušteno je naznačiti prezime i inicijale samo prvoga od njih uz riječi "itd.". Naziv mjesta izdanja mora biti naveden u cijelosti u nominativu: dopušteno je skraćivanje naziva samo dva grada: Moskva (M.) i Sankt Peterburg (SPb.). Citirane bibliografske izvore treba poredati abecednim redom uzlaznim redoslijedom. Popis se mora sastojati od najmanje tri izvora.

Svaki novi dio rada, novo poglavlje, novi odlomak počinje na sljedećoj stranici.

Prijava se sastavlja na posebnim listovima, svaka prijava ima redni broj i tematski naslov. U gornjem desnom kutu nalazi se natpis “Dodatak” 1 (2.3...). Naslov aplikacije oblikovan je kao naslov odlomka.

Opseg rada je najmanje 10 listova stranica ispisanih na računalu (pisaći stroj); sadržaj, popis literature i prilozi nisu obuhvaćeni navedenim brojem stranica.

Tekst rukopisa tiskan je fontom br. 14, s razmakom 1,5.

Margine: lijeva - 3 cm, desna - 1 cm, gornja i donja - 2 cm.

Crvena linija - 1,5 cm prored - 1,8.

Nakon citata u tekstu rada koriste se sljedeći znakovi: “...”, gdje se broj bibliografskog izvora preuzima iz popisa literature.

Žalba na tekst prijave oblikovana je na sljedeći način: (vidi Dodatak 1).

Dizajn algoritamskih dijagrama, tablica i formula. Ilustracije (grafovi, dijagrami, dijagrami) mogu biti u glavnom tekstu sažetka iu dijelu priloga. Sve ilustracije nazivamo crtežima. Sve slike, tablice i formule numerirane su arapskim brojevima i imaju kontinuiranu numeraciju unutar aplikacije. Svaki crtež mora imati potpis. Na primjer:

Slika 12. Oblik glavnog prozora aplikacije.

Sve slike, tablice i formule u radu moraju imati poveznice u obliku: “forma glavnog prozora aplikacije prikazana je na sl. 12.".

Slike i tablice treba staviti neposredno iza stranice na kojoj se prvi put spominje u tekstu bilješke. Ako prostor dopušta, slika (tablica) se može staviti u tekst na istoj stranici gdje je navedena prva poveznica na nju.

Ako crtež zauzima više od jedne stranice, sve stranice osim prve označavaju se brojem crteža i riječju "Nastavak". Na primjer:

Riža. 12. Nastavak

Crteži trebaju biti postavljeni tako da se mogu vidjeti bez okretanja novčanice. Ako takvo postavljanje nije moguće, crteže treba postaviti tako da ih za gledanje morate okrenuti u smjeru kazaljke na satu.

Dijagrami algoritama moraju biti izrađeni u skladu s ESPD standardom. Debljina pune linije pri crtanju dijagrama algoritma treba biti u rasponu od 0,6 do 1,5 mm. Natpisi na dijagramima moraju biti izrađeni fontom crteža. Visina slova i brojeva mora biti najmanje 3,5 mm.

Broj tablice stavlja se u gornjem desnom kutu iznad naslova tablice, ako postoji. Naslov, osim prvog slova, piše se malim slovima. Kratice koriste samo velika slova. Na primjer: PC.

Broj formule nalazi se na desnoj strani stranice u zagradama na razini formule. Na primjer: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Na primjer: vrijednosti se izračunavaju pomoću formule (12).

Stranice rada numerirajte prema knjižnoj verziji: tiskanim brojevima, u donjem desnom kutu stranice, počevši od teksta “Uvoda” (str. 3). Rad je numeriran uzastopnim brojevima, do zadnje stranice.

Napisana je riječ "poglavlje", poglavlja su numerirana rimskim brojevima, paragrafi su numerirani arapskim, znak; nije napisano; dio rada „Uvod“. “Zaključak” i “Literatura” nisu numerirani.

Naslovi poglavlja i paragrafa pišu se crvenom crtom.

Naslovi “Uvod”, “Zaključak”, “Literatura” pišu se u sredini, na vrhu lista, bez navodnika, bez točke.

Opseg uvoda i zaključka rada je 1,5-2 stranice tiskanog teksta.

Rad mora biti zašiven.

U radu se koriste tri vrste fonta: 1 - za označavanje naslova poglavlja, naslova "Sadržaj", "Literatura", "Uvod", "Zaključak"; 2 - za označavanje naslova odlomaka; 3 - za tekst

Zahtjevi za prezentaciju

Prvi slajd sadrži:

ü naslov prezentacije;

Drugi slajd označava sadržaj rada koji je najbolje prikazati u obliku hiperlinkova (radi interaktivnosti prikaza).

Posljednji slajd sadrži popis korištene literature u skladu sa zahtjevima, internetski izvori navedeni su zadnji.

Dizajn dijapozitiva
Stil	8 potrebno je održavati jedinstven stil dizajna; 8 trebate izbjegavati stilove koji će odvratiti pažnju od same prezentacije; 8 pomoćnih informacija (gumbi za upravljanje) ne smiju prevladavati nad glavnim informacijama (tekst, slike)
Pozadina	Za pozadinu je odabrano 8 hladnijih tonova (plava ili zelena).
Upotreba boje	8 na jednom slajdu preporuča se koristiti najviše tri boje: jednu za pozadinu, jednu za naslove, jednu za tekst; Za pozadinu i tekst koristi se 8 kontrastnih boja; 8 posebnu pozornost treba obratiti na boju hiperlinkova (prije i poslije korištenja)
Efekti animacije	8 trebate koristiti mogućnosti računalne animacije za prikaz informacija na slajdu; 8 ne smijete pretjerano koristiti razne animacijske efekte; efekti animacije ne bi trebali odvraćati pozornost od sadržaja informacija na slajdu
Prezentacija informacija
Sadržaj informacija	treba koristiti 8 kratkih riječi i rečenica; 8 glagolskih vremena treba svuda biti isto; 8 trebate koristiti minimum prijedloga, priloga, pridjeva; 8 naslova bi trebalo privući pozornost publike
Položaj informacija na stranici	8 poželjno vodoravni raspored informacija; 8 najvažnije informacije trebaju biti smještene u sredini ekrana; 8 ako je na slajdu slika, natpis treba biti ispod nje.
Fontovi	8 za naslove od najmanje 24; 8 za ostale informacije ne manje od 18; 8 Sans serif fontove lakše je čitati iz daljine; 8 ne možete miješati različite vrste fontova u jednoj prezentaciji; 8 podebljano, kurziv ili podcrtavanje iste vrste treba koristiti za isticanje informacija; 8 Ne smijete pretjerano koristiti velika slova (slabije su čitljiva od malih).
Načini isticanja informacija	Trebali biste koristiti: 8 okvira, granice, sjenčanje 8 različitih boja fonta, sjenčanje, strelice 8 slika, dijagrama, dijagrama za ilustraciju najvažnijih činjenica
Količina informacija	8, ne biste trebali ispuniti jedan slajd s previše informacija: ljudi se mogu sjetiti najviše tri činjenice, zaključka i definicije odjednom. 8, najveća učinkovitost se postiže kada se ključne točke odražavaju jedna po jedna na svakom pojedinačnom slajdu.
Vrste slajdova	Kako biste osigurali raznolikost, trebali biste koristiti različite vrste slajdova: s tekstom, s tablicama, s dijagramima.

Tijekom rada studenti:

Pregledati i proučiti potrebno gradivo, kako na predavanjima tako iu dodatnim izvorima informacija;

Napravite popis riječi odvojeno po smjeru;

Sastaviti pitanja za odabrane riječi;

Provjerite pravopis teksta i usklađenost s numeriranjem;

Izradite gotovu križaljku.

Opći zahtjevi za sastavljanje križaljki:

Prisutnost "praznina" (nepopunjenih ćelija) u rešetki križaljke nije dopuštena;

Nasumične kombinacije slova i križanja nisu dopuštena;

Skrivene riječi moraju biti imenice u nominativu jednine;

Riječi od dva slova moraju imati dva sjecišta;

Riječi od tri slova moraju imati najmanje dva sjecišta;

Kratice (ZiL i sl.), kratice (sirotište i sl.) nisu dopuštene;

Svi tekstovi moraju biti napisani čitko, po mogućnosti tiskani.

Zahtjevi za dizajn:

Dizajn križaljke mora biti jasan;

Sve križaljke moraju biti ispunjene u dva primjerka:

1. primjerak - s ispunjenim riječima;

2. primjerak - samo s brojevima pozicija.

Odgovori se objavljuju posebno. Odgovori su namijenjeni provjeri točnosti rješenja križaljki i pružaju priliku da se upoznate s točnim odgovorima na neriješene pozicije uvjeta, što pomaže u rješavanju jednog od glavnih zadataka rješavanja križaljki - povećanja erudicije i povećanja vokabulara .

Kriteriji za ocjenjivanje riješenih križaljki:

1. Jasnoća prezentacije materijala, cjelovitost istraživanja teme;

2. Originalnost križaljke;

3. Praktični značaj rada;

4. Razina stilske prezentacije materijala, odsutnost stilskih pogrešaka;

5. Razina dizajna rada, prisutnost ili odsutnost gramatičkih i interpunkcijskih pogrešaka;

6. Broj pitanja u križaljci, njihov točan prikaz.

Kako bi praktična nastava donijela maksimalnu korist, potrebno je imati na umu da se vježbanje i rješavanje situacijskih problema provodi na temelju gradiva pročitanog na predavanjima i povezano je, u pravilu, s detaljnom analizom pojedinih problematike tečaj predavanja. Treba naglasiti da će tek nakon savladavanja nastavnog gradiva s određenog stajališta (naime s onoga s kojeg se ono izlaže na predavanjima) ono biti učvršćeno u praktičnoj nastavi, kako kao rezultat rasprave, tako i analize gradivo predavanja, te rješavanjem situacijskih problema. Pod tim uvjetima student će ne samo dobro savladati gradivo, već će ga naučiti i primijeniti u praksi, a također će dobiti dodatni poticaj (i to je vrlo važno) za aktivno proučavanje predavanja.

Prilikom samostalnog rješavanja zadanih zadataka potrebno je svaku fazu radnje obrazložiti na temelju teorijskih načela kolegija. Ako učenik vidi više načina rješavanja problema (zadatka), tada ih treba usporediti i odabrati najracionalniji. Korisno je izraditi kratak plan rješavanja problema (zadatka) prije nego što se pristupi rješavanju problema. Rješenje problematičnih problema ili primjera treba biti detaljno prikazano, popraćeno komentarima, dijagramima, crtežima i crtežima te uputama za provedbu.

Treba imati na umu da rješenje svakog obrazovnog problema treba dovesti do konačnog logičnog odgovora koji uvjet zahtijeva, a po mogućnosti i zaključka. Dobiveni rezultat treba provjeriti na načine koji proizlaze iz suštine ovog zadatka.

· Glavni pojmovi ispitnog zadatka moraju biti jasno i eksplicitno definirani.

· Testni zadaci moraju biti pragmatički ispravni i osmišljeni tako da procjenjuju razinu obrazovnih postignuća učenika u određenom području znanja.

· Testne zadatke treba oblikovati u obliku sažetih kratkih sudova.

· Trebali biste izbjegavati ispitne zadatke koji zahtijevaju od ispitanika da donese detaljne zaključke o zahtjevima testnih zadataka.

· Prilikom konstruiranja ispitnih situacija, možete koristiti različite oblike njihove prezentacije, kao i grafičke i multimedijske komponente kako biste racionalno predstavili sadržaj nastavnog materijala.

Broj riječi u ispitnom zadatku ne smije biti veći od 10-12, osim ako se time ne narušava konceptualna struktura ispitne situacije. Glavna stvar je jasan i eksplicitan odraz sadržaja fragmenta predmetnog područja.

Prosječno vrijeme koje učenik provede na testnom zadatku ne smije prelaziti 1,5 minutu.

Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike

Eksperiment

Lekcija 9. Inverzne trigonometrijske funkcije.

Praksa

Sažetak lekcije

Uglavnom će nam trebati sposobnost rada s lučnim funkcijama pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.

Zadaci koje ćemo sada razmotriti podijeljeni su u dvije vrste: izračunavanje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija i njihove transformacije pomoću osnovnih svojstava.

Izračunavanje vrijednosti lučnih funkcija

Počnimo s izračunavanjem vrijednosti lučnih funkcija.

Zadatak br. 1. Izračunati.

Kao što vidimo, svi argumenti lučnih funkcija su pozitivni i tablični, što znači da možemo vratiti vrijednost kutova iz prvog dijela tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kutove od do . Ovaj raspon kutova uključen je u raspon vrijednosti svake od lučnih funkcija, tako da jednostavno koristimo tablicu, pronađemo vrijednost trigonometrijske funkcije u njoj i vratimo kojem kutu ona odgovara.

Odgovor. .

Zadatak br. 2. Izračunati

U ovom primjeru već vidimo negativne argumente. Tipična pogreška u ovom slučaju je jednostavno ukloniti minus ispod funkcije i jednostavno smanjiti zadatak na prethodni. Međutim, to se ne može učiniti u svim slučajevima. Prisjetimo se kako smo u teoretskom dijelu lekcije govorili o parnosti svih lučnih funkcija. Neparne su arksinus i arktangens, tj. minus im je oduzet, a arkosinus i arkotangens su funkcije općeg oblika; da bi se minus u argumentu pojednostavio, imaju posebne formule. Nakon izračuna, kako bismo izbjegli pogreške, provjeravamo je li rezultat unutar raspona vrijednosti.

Kada su argumenti funkcije pojednostavljeni u pozitivan oblik, ispisujemo odgovarajuće vrijednosti kuta iz tablice.

Može se postaviti pitanje: zašto ne zapisati vrijednost kuta koji odgovara, na primjer, izravno iz tablice? Prvo, zato što je prethodnu tablicu teže zapamtiti nego prije, a drugo, zato što u njoj nema negativnih vrijednosti sinusa, a negativne vrijednosti tangensa dat će pogrešan kut prema tablici. Bolje je imati univerzalan pristup rješenju nego biti zbunjen mnogim različitim pristupima.

Zadatak br. 3. Izračunati.

a) Tipična pogreška u ovom slučaju je početi vaditi minus i nešto pojednostaviti. Prva stvar koju treba primijetiti je da argument arksinusa nije u opsegu

Stoga ovaj unos nema smisla, a arksinus se ne može izračunati.

b) Standardna pogreška u ovom slučaju je da brkaju vrijednosti argumenta i funkcije i daju odgovor. Ovo nije istina! Naravno, javlja se misao da u tablici kosinus odgovara vrijednosti , ali u ovom slučaju, ono što je zbunjeno je da se funkcije luka izračunavaju ne iz kutova, već iz vrijednosti trigonometrijskih funkcija. To nije .

Osim toga, budući da smo saznali što je točno argument ark kosinusa, potrebno je provjeriti da li je uključen u domenu definicije. Da bismo to učinili, zapamtimo to , tj. što znači da arkosinus nema smisla i ne može se izračunati.

Usput, na primjer, izraz ima smisla, jer , ali budući da vrijednost kosinusa jednaka nije tabularna, nemoguće je izračunati arc kosinus pomoću tablice.

Odgovor. Izrazi nemaju smisla.

U ovom primjeru ne uzimamo u obzir arktangens i arkotangens, jer njihova domena definicije nije ograničena i vrijednosti funkcije bit će za sve argumente.

Zadatak br. 4. Izračunati .

U biti, zadatak se svodi na prvi, samo trebamo odvojeno izračunati vrijednosti dviju funkcija, a zatim ih zamijeniti u izvorni izraz.

Argument arktangensa je tablični i rezultat pripada rasponu vrijednosti.

Argument arkosinusa nije tablični, ali to nas ne bi trebalo plašiti, jer bez obzira čemu je arkosinus jednak, njegova vrijednost kada se pomnoži s nulom rezultirat će nulom. Ostaje još jedna bitna napomena: potrebno je provjeriti pripada li arkosinus argument domeni definicije, jer ako to nije slučaj, onda cijeli izraz neće imati smisla, bez obzira što sadrži množenje s nulom . No, zato možemo reći da ima smisla i u odgovoru dobivamo nulu.

Navedimo još jedan primjer u kojem je potrebno moći izračunati jednu lučnu funkciju, znajući vrijednost druge.

Problem #5. Izračunaj ako je poznato da .

Može se činiti da je potrebno prvo izračunati vrijednost x iz navedene jednadžbe, a zatim je zamijeniti u željeni izraz, tj. u inverznu tangensu, ali to nije nužno.

Sjetimo se formule kojom su te funkcije međusobno povezane:

I izrazimo iz njega ono što nam je potrebno:

Kako biste bili sigurni, možete provjeriti leži li rezultat u rasponu ark kotangensa.

Transformacije lučnih funkcija pomoću njihovih osnovnih svojstava

Sada prijeđimo na niz zadataka u kojima ćemo morati koristiti transformacije lučnih funkcija koristeći njihova osnovna svojstva.

Problem #6. Izračunati .

Za rješavanje ćemo koristiti osnovna svojstva naznačenih lučnih funkcija, samo ćemo provjeriti odgovarajuća ograničenja.

b) .

Odgovor. A) ; b) .

Problem broj 7. Izračunati.

Tipična pogreška u ovom slučaju je odmah napisati 4 kao odgovor. Kao što smo naznačili u prethodnom primjeru, za korištenje osnovnih svojstava lučnih funkcija potrebno je provjeriti odgovarajuća ograničenja na njihov argument. Bavimo se nekretninom:

Ali . Glavna stvar u ovoj fazi odluke je ne misliti da navedeni izraz nema smisla i da se ne može izračunati. Uostalom, možemo smanjiti četiri, što je argument tangensa, oduzimanjem perioda tangensa, a to neće utjecati na vrijednost izraza. Nakon što smo napravili ove korake, imat ćemo priliku smanjiti argument tako da bude unutar navedenog raspona.

Budući da, dakle, , jer .

Problem broj 8. Izračunati.

U gornjem primjeru imamo posla s izrazom koji je sličan osnovnom svojstvu arksinusa, ali samo što sadrži kofunkcije. Mora se svesti na oblik sinus iz arksinusa ili kosinus iz arkkosinusa. Budući da je jednostavnije pretvoriti izravne trigonometrijske funkcije nego inverzne, prijeđimo sa sinusa na kosinus pomoću formule "trigonometrijske jedinice".

Kao što već znamo:

U našem slučaju, u ulozi. Prvo izračunajmo radi praktičnosti .

Prije nego što ga zamijenimo u formulu, saznajmo njegov predznak, tj. predznak izvornog sinusa. Moramo izračunati sinus iz vrijednosti ark kosinusa, koja god ta vrijednost bila, znamo da leži u rasponu. Ovaj raspon odgovara kutovima prve i druge četvrtine, u kojima je sinus pozitivan (provjerite to sami pomoću trigonometrijske kružnice).

U današnjem praktičnom satu pogledali smo izračun i transformaciju izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije

Učvrstite gradivo spravama za vježbanje

Trener 1 Trener 2 Trener 3 Trener 4 Trener 5