U ovom slučaju mjerenje trokuta treba shvatiti kao rješenje trokuta, t.j. određivanje stranica, kutova i drugih elemenata trokuta, ako su neki od njih dani. Veliki broj praktičnih problema, kao i problemi planimetrije, stereometrije, astronomije i drugi, svode se na problem rješavanja trokuta.
Pojava trigonometrije povezana je s zemljomjerom, astronomijom i graditeljstvom.
Iako je naziv znanosti nastao relativno nedavno, mnogi pojmovi i činjenice koje se danas odnose na trigonometriju bili su poznati prije dvije tisuće godina.
Po prvi put metode za rješavanje trokuta na temelju ovisnosti između stranica i kutova trokuta pronašli su starogrčki astronomi Hiparh (2. st. pr. Kr.) i Klaudije Ptolomej (2. st. n. e.). Kasnije su se odnosi između omjera stranica trokuta i njegovih kutova počeli nazivati trigonometrijskim funkcijama.
Značajan doprinos razvoju trigonometrije dali su arapski znanstvenici Al-Batani (850-929) i Abu-l-Wafa, Mohammed-bin Mohamed (940-998), koji su sastavili tablice sinusa i tangenta kroz 10' sa točnost od 1/604. Teorem sinusa su već poznavali indijski znanstvenik Bhaskara (r. 1114., godina smrti nepoznata) i azerbajdžanski astronom i matematičar Nasireddin Tusi Mukhamed (1201.-1274.). Osim toga, Nasireddin Tusi je u svom djelu "Treatise on the Complete Quadrilateral" ocrtao ravninsku i sfernu trigonometriju kao samostalnu disciplinu.
Koncept sinusa ima dugu povijest. Zapravo, različiti omjeri segmenata trokuta i kružnice (i, u biti, trigonometrijskih funkcija) nalaze se već u 3. stoljeću prije Krista. u djelima velikih matematičara antičke Grčke - Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. U rimskom razdoblju te je odnose prilično sustavno proučavao Menelaj (1. st. Kr.), iako nisu dobili poseban naziv. Moderni sinus a, na primjer, proučavan je kao polutetiva podržana središnjim kutom veličine a, ili kao tetiva udvojenog luka.
U 4.-5. stoljeću pojavio se poseban termin u djelima iz astronomije velikog indijskog znanstvenika Aryabhata, po kojem je nazvan prvi indijski satelit Zemlje. Segment AM (slika 1) nazvao je ardhajiva (ardha - polovica, jiva - tetiva, koja podsjeća na akord). Kasnije se pojavio kraći naziv jiva. Arapski matematičari u 9. stoljeću zamijenili su ovu riječ arapskom riječju jayb (izbočina). Prilikom prevođenja arapskih matematičkih tekstova u stoljeću, zamijenjen je latinskim sinusom (sinus - zavoj, zakrivljenost).
Riječ kosinus je mnogo mlađa. Kosinus je skraćenica od latinskog izraza potpuno sinus, tj. "dodatni sinus" (ili inače "sinus dodatnog luka"; cosa \u003d sin (90 ° - a)).
Tangente su nastale u vezi s rješenjem problema određivanja duljine sjene. Tangentu (i također kotangens) uveo je u 10. stoljeću arapski matematičar Abul-Wafa, koji je sastavio i prve tablice za pronalaženje tangenta i kotangensa. No, ta su otkrića dugo ostala nepoznata europskim znanstvenicima, a tangente je ponovno otkrio tek u 14. stoljeću njemački matematičar, astronom Regimontan (1467.). Dokazao je teorem tangente. Regiomontanus je također sastavio detaljne trigonometrijske tablice; Zahvaljujući njegovom radu, ravna i sferna trigonometrija postala je samostalna disciplina i u Europi.
Naziv "tangenta", izveden od latinskog tanger (dodirnuti), pojavio se 1583. Tangens je preveden kao "dodirivanje" (linija tangenta je tangenta na jediničnu kružnicu).
Trigonometrija je dodatno razvijena u djelima istaknutih astronoma Nicolausa Copernica (1473-1543) - tvorca heliocentričnog sustava svijeta, Tycho Brahea (1546-1601) i Johannesa Keplera (1571-1630), kao i u djela matematičara Francoisa Viete (1540-1603), koji je u potpunosti riješio problem određivanja svih elemenata ravnog ili sfernog trokuta prema tri podatka.
Trigonometrija je dugo vremena bila isključivo geometrijske prirode, tj. činjenice koje sada formuliramo u terminima trigonometrijskih funkcija bile su formulirane i dokazane uz pomoć geometrijskih pojmova i tvrdnji. Tako je bilo i u srednjem vijeku, iako su se u tome ponekad koristile analitičke metode, osobito nakon pojave logaritama. Možda najveći poticaji za razvoj trigonometrije nastali su u vezi s rješavanjem astronomskih problema, što je bilo od velikog praktičnog interesa (npr. za rješavanje problema određivanja položaja broda, predviđanja zamračenja itd.). Astronome je zanimao odnos između stranica i kutova sfernih trokuta. I treba napomenuti da su se matematičari antike uspješno nosili s postavljenim zadacima.
Počevši od 17. stoljeća trigonometrijske funkcije počele su se primjenjivati za rješavanje jednadžbi, problema mehanike, optike, elektrike, radiotehnike, za opisivanje oscilatornih procesa, širenja valova, kretanja raznih mehanizama, za proučavanje izmjenične električne struje itd. , trigonometrijske funkcije su sveobuhvatne i duboko proučavane, te su dobile važno značenje za cijelu matematiku.
Analitičku teoriju trigonometrijskih funkcija uglavnom je stvorio istaknuti matematičar 18. stoljeća Leonhard Euler (1707-1783), član Petrogradske akademije znanosti. Eulerovo golemo znanstveno naslijeđe uključuje briljantne rezultate koji se odnose na račun, geometriju, teoriju brojeva, mehaniku i druge primjene matematike. Euler je prvi uveo dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo razmatrati funkcije proizvoljnog kuta i dobio formule redukcije. Nakon Eulera, trigonometrija je poprimila oblik računa: razne činjenice su se počele dokazivati formalnom primjenom trigonometrijskih formula, dokazi su postali mnogo kompaktniji, jednostavniji,
Tako se trigonometrija, koja je nastala kao znanost o rješavanju trokuta, s vremenom razvila u znanost o trigonometrijskim funkcijama.
Kasnije se dio trigonometrije koji proučava svojstva trigonometrijskih funkcija i odnose među njima počeo zvati goniometrija (u prijevodu znanost o mjerenju kutova, s grčkog gwnia – kut, metrew – mjerim). Pojam goniometrija se posljednjih godina ne koristi puno.
trigonometrija
Najvažnije razdoblje u povijesti trigonometrije povezano je s djelovanjem znanstvenika s Bliskog i Srednjeg istoka. Njegov početak možemo datirati u 8. stoljeće, kada je započeo aktivan rad na proučavanju indijske i grčke znanstvene baštine u glavnom gradu arapskog kalifata, Bagdadu. Među znanstvenim disciplinama koje su se uspješno razvijale bile su one oblasti astronomije i matematike, unutar kojih se formirala ravna i sferna trigonometrija.
Astronomija, jedna od najstarijih znanosti, razvijala se kroz srednji vijek u bliskoj vezi s drugim disciplinama. Neophodna u raznim područjima praktične djelatnosti ljudi, na primjer, u točnom određivanju vremena, sastavljanju kalendara, orijentaciji na tlu, mjerenju udaljenosti itd., njoj je, pak, trebao savršen matematički aparat. Upravo su potrebe astronomije bile u to vrijeme najvažniji poticaj brzom napretku matematike, a posebno razvoju novih računskih tehnika.
Veliku pozornost u to vrijeme privukla je gnomonika - teorija sunčanog sata, naširoko korištena u praksi. Prilikom rješavanja astronomskih problema korištene su drevne grafičke tehnike temeljene na ortogonalnoj projekciji kugle na ravninu. Doktrina linija u trigonometrijskom krugu postajala je sve važnija.
Rezimirajući rezultate koje su dobili njihovi prethodnici, znanstvenici Bliskog i Srednjeg istoka razvili su trigonometrijske metode i već u 12. stoljeću. zapravo pretvorio trigonometriju u samostalnu znanost.
Prije nego što prijeđemo na pregled trigonometrije na srednjovjekovnom Bliskom i Srednjem istoku, potrebno je navesti neke znanstvenike čija su djela imala posebno važnu ulogu u njegovoj povijesti.
Prije svega, potrebno je spomenuti izvanredne prevoditelje antičke znanstvene književnosti s grčkog i sirijskog jezika. To su oni koji su djelovali u Bagdadu krajem 8. - početkom 9. stoljeća. Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar (živio između 786. i 833.), matematičar, fizičar i liječnik Ishak ibn Hunayn 9830. - 910.). Veliki doprinos razvoju trigonometrije dali su starosjedioci Srednje Azije, Mukhhamad ibn Mussa al-Khwarizmi (oko 780. - oko 880.) i Ahmad ibn Abdallah al-Marvazi. Poznat kao Khabash al-Khasib (oko 770. - oko 870.). Prvi od njih postao je poznat prvenstveno po svojim spisima o matematici: njegovo se ime povezuje s stvaranjem algebre i širenjem aritmetike na temelju decimalnog pozicijskog brojevnog sustava koji koristi nulu. Njegovo geografsko djelo također je imalo važnu ulogu u povijesti znanosti. Kao i Khabash al-Khasib, al-Khwarizmi je bio jedan od najistaknutijih astronoma svog vremena. Njihovi spisi bili su vrlo popularni. Posebnu ulogu u povijesti trigonometrije imali su “ziji” koje su sastavili.
Posebno mjesto u povijesti trigonometrije zauzima istaknuti astronom srednjovjekovnog Istoka Muhammad ibn Jabir al-Battani (oko 850. - 929.). Treba spomenuti i najvećeg filozofa, utemeljitelja istočnog aristotelizma, Abu Nasra Muhammada al-Farabija (oko 870.-950.).
Do kraja XI stoljeća. zajedničkim naporima znanstvenika s Bliskog i Srednjeg istoka postavljeni su temelji trigonometrije kao samostalne znanosti. Ona je također formalizirana u djelima zapadnih arapskih matematičara, među kojima treba nazvati Muhammada ibn Yusufa ibn Ahmada ibn Mu "az al-Jayyanija (989 - oko 1080) i Abu Muhammada Jabira ibn Aflaha (XII stoljeće).
U XIII stoljeću. Važan korak u razvoju trigonometrije učinili su predstavnici znanstvene škole Maraga - prije svega njen vođa, znanstvenik Nasir ad-Din at-Tusi (1201. - 1274.) i njegovi učenici Mukhi ad-Din al-Maghribi i kutb ad-Din eš-Širazi.
Srednjovjekovni učenjaci islamskih zemalja nastavili su u svojim spisima tradicije svojih prethodnika, čiji su nasljednici u oblasti egzaktnih nauka bili. Stoga se u astronomsko-matematičkoj literaturi ovoga razdoblja, vezanoj uz trigonometriju, jasno ističu, prije svega. Komentari na grčka djela (prvenstveno na Ptolemejev Almagest i spise o sferi) i njihove adaptacije, i, drugo, djela u kojima se razvijaju indijske metode. Treću skupinu čine radovi u kojima se ove metode kombiniraju s grčkim.
Indijski utjecaj utjecao je na arapsku trigonometrijsku terminologiju. Sinusna linija zvala se jibe. Ovo je arapski indijski izraz jiva, što znači akord ili struna gudala. Kosinus se označavao pojmom "komplementarni sinus". Obrnuti sinus nazvan je po Indijancima "strijela".
Do X - XI stoljeća. zidzhi i njima bliska astronomska djela u prirodi uključivala su sažetke osnovnih podataka o trigonometriji i trigonometrijskim tablicama. Među autorima radova koji su dali značajan doprinos razvoju nauke i povećanju ovog materijala bili su znanstvenici kao što su Abu Nasar Mansur ibn Iraq i njegov veliki učenik Abu Rayhan Beruni. I djelo Nasir ad-Din at-Tusija ostavilo je važan trag u povijesti trigonometrije.
Ravna trigonometrija se u pravilu izlagala u posebnim dijelovima astronomskih djela, prvenstveno u zijsima. Ovdje su date definicije trigonometrijskih funkcija i uspostavljeni odnosi među njima, predložena su pravila za rješavanje trokuta. Najveća pozornost, naravno, bila je posvećena pitanju koje je važno za praksu - sastavljanju trigonometrijskih tablica.
Koncepti sinusa i obrnutog sinusa nalaze se - očito po prvi put u književnosti na arapskom jeziku - u ziju od al-Khwarizmija. On daje tablicu sinusa (uključivo do sekunde) i pravila za korištenje, objašnjava kako pomoću ove tablice pronaći sinus i obrnuti sinus duž zadanog luka i kako pronaći luk pomoću tog sinusa. Kao kutnu jedinicu, al-Kharezmi koristi "znak zodijaka", jednak opsegu kruga, tj. 30°. Vrijednosti sinusa dane su u dijelovima polumjera, za koji se pretpostavlja da je 60, a izražene su u seksagezimalnim razlomcima.
sl.6 sl.7
Pravilo za određivanje obrnutog sinusa, koje je usmeno formulirao al-Kharezmi, koristeći modernu matematičku simboliku, može se napisati na sljedeći način: ako označimo liniju obrnutog sinusa luka b kroz sinvers b, tada
sinvers a \u003d 60 ° - sin (90 ° - a), s b< 90°,
sinvers a \u003d 60 ° + sin (90 ° - a), s b\u003e 90 °.
Ako se radijus kruga, kao što je sada uobičajeno, uzme jednak 1, tada će ovo pravilo poprimiti oblik sinvers b \u003d 1 - cos b, gdje je, respektivno, cos b > 0 i cos< 0.
Tangenta, kotangens, kao i sekans i kosekans, uvedeni i tablični u isto vrijeme, u početku su se smatrali linijama koje su se pojavile u znanosti o sunčanom satu - gnomonici.
Pravilo prema kojem je pronađen kotangens kuta b, u modernom zapisu ima oblik
faktor 12 se ovdje pojavljuje zbog činjenice da je gnomon podijeljen na 12 dijelova. Slično, pravilo je dano dnevnom tangentom, koji je izražen u ulomcima jedinice
Međutim, već al-Farabi, kada je predstavljao Ptolomejevo djelo, ne samo da je napustio koncept tetive, već je smatrao i linije tangente i kotangensa kao linije povezane s kružnicom. Time je prekršio tradicionalnu povezanost ovih trigonometrijskih funkcija s gnomonikom.
Za ilustraciju, citiramo iz njegove "Knjige primjena na Almagesta", koja sadrži definiciju tangente i kotangensa u vezi s problemom pronalaženja visine sunca: i kruga horizonta; DE je gnomon koji stoji pod pravim kutom na ravninu horizonta u točki D, CK je presjek ravnine visinske kružnice i ravnine koja stoji pod pravim kutom na horizont u točki C, a CE je gnomon koji stoji na ovoj avion. Postavimo visinski luk AG. Nacrtajmo GEF, tj. zraku koja povezuje vrh gnomona i kraj sjene; DF je sjena gnomona DE, nazvana ravna sjena ili druga sjena visine AG, a CH je sjena gnomona CE, nazvana obrnuta sjena ili prva sjena visine AG.
Istovremeno, al-Farabi posebno primjećuje da se tangenta "mijenja i povećava s povećanjem visine sunca", a kotangens "smanjuje s povećanjem ove visine".
Ali ako je u gornjem obrazloženju veza s gnomonikom još uvijek jaka, onda dalje, kada je pronašao veličinu linija tangente i kotangensa, al-Farabi ih smatra samo linijama u krugu - zajedno s linijom sinusa i kosinusa.
Gdje je r polumjer kružnice.
Također je značajno da al-Farabi izražava tangentu i kotangens (kao i sinus i kosinus) u terminima radijusa podijeljenog na 60 dijelova, a ne u sedminama i dvanaestinama gnomona, kao što je prije bilo uobičajeno.
Kosinus trigonometrijske funkcije u djelima istočnih matematičara smatran je samo sinusom komplementa kuta do 90.
Tako su do kraja 9. stoljeća znanstvenici srednjovjekovnog istoka poznavali svih šest trigonometrijskih funkcija. Omjer između njih, koji je izveden iz geometrijskih razmatranja, formuliran je usmeno. Uz pomoć matematičke simbolike, ovi omjeri koje je, na primjer, dao al-Battani, izgledat će ovako:
Izuzetno važan korak za razvoj trigonometrije napravio je Abul-Vafa al-Buzdzhanni, postavivši r = 1 umjesto 6 = 60. Počeo je razmatrati trigonometrijske funkcije u jediničnom krugu i time uvelike olakšao proračune. On također posjeduje elegantniji od Ptolomejevog dokaza o odnosu, koji sada izražavamo formulom
Ibn Yunis ima još nešto što je odigralo značajnu ulogu u povijesti trigonometrije:
Zatim slijede teoreme već poznate iz Almagesta o tetivi dodatnog luka, tetivi udvojenog luka, tetivi zbroja i razlike dva zadana luka, koji su ekvivalentni teoremima o sinusu dvostrukog i poluugla , na sinus zbroja i razlike dvaju kutova. Njihovu važnost bilježi Beruni.
Značajno olakšano rješenje trokuta dokazano je u X stoljeću. teorem sinusa, koji utvrđuje proporcionalnost stranica i suprotnih kutova.
Kosinusni teorem a 2 \u003d b 2 + c 2 - 2 bc cos A, gdje su a, b, c stranice trokuta, A je njegov kut, nije formuliran općenito.
Općinska proračunska obrazovna ustanova
srednja škola №10
uz dubinsko proučavanje pojedinih predmeta
Projekt su završili:
Pavlov Roman
Učenik 10b razreda
Nadglednik:
nastavnik matematike
ALI
Yelets, 2012. (monografija).
1. Uvod.
3. Svijet trigonometrije.
· Trigonometrija u fizici.
· Trigonometrija u planimetriji.
· Trigonometrija u umjetnosti i arhitekturi.
· Trigonometrija u medicini i biologiji.
3.2 Grafički prikazi transformacije "malo zanimljivih" trigonometrijskih funkcija u izvorne krivulje (pomoću računalnog programa "Funkcije i grafovi").
· Krivulje u polarnim koordinatama (rozete).
· Krivulje u kartezijanskim koordinatama (Lissajousove krivulje).
· Matematički ukrasi.
4. Zaključak.
5. Popis literature.
Cilj projekta - razvijanje interesa za proučavanje teme "Trigonometrija" u predmetu algebra i početak analize kroz prizmu primijenjene vrijednosti gradiva koje se proučava; proširenje grafičkih prikaza koji sadrže trigonometrijske funkcije; primjena trigonometrije u znanostima kao što su fizika, biologija. Ona igra važnu ulogu u medicini, a što je najzanimljivije, čak ni glazba i arhitektura ne bi mogli bez nje.
Predmet proučavanja - trigonometrija
Predmet studija - primijenjena orijentacija trigonometrije; grafovi nekih funkcija, koristeći trigonometrijske formule.
Ciljevi istraživanja:
1. Razmotrite povijest nastanka i razvoja trigonometrije.
2. Na konkretnim primjerima pokazati praktične primjene trigonometrije u raznim znanostima.
3. Na konkretnim primjerima objasniti mogućnosti korištenja trigonometrijskih funkcija koje omogućuju pretvaranje "malo zanimljivih" funkcija u funkcije čiji grafovi imaju vrlo originalan izgled.
Hipoteza – pretpostavke: Povezanost trigonometrije s vanjskim svijetom, važnost trigonometrije u rješavanju mnogih praktičnih problema, grafičke mogućnosti trigonometrijskih funkcija omogućuju "materijalizaciju" znanja školaraca. To vam omogućuje bolje razumijevanje vitalne potrebe za znanjem stečenim u proučavanju trigonometrije, povećava interes za proučavanje ove teme.
Metode istraživanja - analiza matematičke literature na tu temu; odabir specifičnih zadataka primijenjene prirode na ovu temu; računalna simulacija na temelju računalnog programa. Otvorena matematika "Funkcije i grafovi" (Physicon).
1. Uvod
“Jedna stvar ostaje jasna da je svijet uređen
strašno i divno."
N. Rubcov
Trigonometrija je grana matematike koja proučava odnos između kutova i duljina stranica trokuta, kao i algebarske identitete trigonometrijskih funkcija. Teško je to zamisliti, ali ovu znanost susrećemo ne samo na nastavi matematike, već i u svakodnevnom životu. Možda niste svjesni toga, ali trigonometrija se nalazi u takvim znanostima kao što su fizika, biologija, igra važnu ulogu u medicini, a što je najzanimljivije, čak ni glazba i arhitektura ne bi mogli bez nje. Problemi s praktičnim sadržajem imaju značajnu ulogu u razvijanju vještina za primjenu teorijskih znanja stečenih na studiju matematike u praksi. Svakog studenta matematike zanima kako i gdje primjenjuje stečeno znanje. Ovaj rad daje odgovor na ovo pitanje.
2.Povijest razvoja trigonometrije.
Riječ trigonometrija sastojao se od dvije grčke riječi: τρίγονον (trigon-trokut) i i μετρειν (metar - mjeriti) u doslovnom prijevodu mjerenje trokuta.
To je taj zadatak - mjerenje trokuta ili, kako se sada kaže, rješenje trokuta, odnosno određivanje svih stranica i kutova trokuta prema njegova tri poznata elementa (stranica i dva kuta, dvije stranice i kut ili tri strane) - od davnina je bila osnova praktične primjene trigonometrije.
Kao i svaka druga znanost, trigonometrija je izrasla iz ljudske prakse, u procesu rješavanja konkretnih praktičnih problema. Prve faze u razvoju trigonometrije usko su povezane s razvojem astronomije. Veliki utjecaj na razvoj astronomije i trigonometrije, s njom usko povezane, imale su potrebe razvoja plovidbe, koja je zahtijevala sposobnost pravilnog određivanja kursa broda na otvorenom moru položajem nebeskih tijela. Značajnu ulogu u razvoju trigonometrije imala je potreba za izradom zemljopisnih karata i usko povezana potreba za ispravnim određivanjem velikih udaljenosti na zemljinoj površini.
Radovi starogrčkog astronoma bili su od temeljne važnosti za razvoj trigonometrije u doba njezina nastanka. Hiparh(sredina 2. st. pr. Kr.). Trigonometrija kao znanost, u suvremenom smislu riječi, nije bila odsutna ne samo kod Hiparha, već i od drugih antičkih znanstvenika, budući da još uvijek nisu imali pojma o funkcijama kutova, a nisu ni postavljali pitanje odnosa između uglova. kutovi i stranice trokuta u općem obliku. Ali u biti su, koristeći im poznata sredstva elementarne geometrije, riješili probleme kojima se trigonometrija bavi. Istodobno, glavno sredstvo za dobivanje željenih rezultata bila je sposobnost izračunavanja duljina kružnih tetiva na temelju poznatih odnosa između stranica pravilnog tro-, četvero-, pet- i deseterokuta i polumjera opisanog krug.
Hiparh je sastavio prve tablice tetiva, odnosno tablice koje izražavaju duljinu tetive za različite središnje kutove u krugu stalnog polumjera. To su, u biti, bile tablice dvostrukih sinusa od pola središnjeg kuta. Međutim, originalne Hiparhove tablice (kao i gotovo sve što je on napisao) nisu došle do nas, a predodžbu o njima možemo steći uglavnom iz skladbe “Velika gradnja” ili (u arapskom prijevodu) “Almagest ” poznatog astronoma Klaudije Ptolemej koji je živio sredinom 2. stoljeća poslije Krista. e.
Ptolomej je podijelio opseg na 360 stupnjeva, a promjer na 120 dijelova. Smatrao je da je polumjer 60 dijelova (60¢¢). Podijelio je svaki od dijelova na 60¢, svaku minutu na 60¢¢, svaku sekundu na 60 tercina (60¢¢¢), itd., koristeći naznačenu podjelu, Ptolomej je izrazio stranu pravilnog upisanog šesterokuta ili tetivu oduzimanjem luk od 60° u obliku 60 dijelova polumjera (60h), a stranicu upisanog kvadrata ili tetivu od 90° izjednačio je s brojem 84h51¢10². , jednak promjeru kružnice, on je napisao na temelju Pitagorinog teorema: (akord a) 2 + (tetiva | 180-a |) 2 \u003d (promjer) 2, što odgovara modernoj formuli sin2a + cos2a \u003d 1.
Almagest sadrži tablicu akorda na pola stupnja od 0° do 180°, što s naše moderne točke gledišta predstavlja tablicu sinusa za kutove od 0° do 90° svake četvrtine stupnja.
Temelj svih trigonometrijskih izračuna među Grcima bio je Ptolemejev teorem poznat Hiparhu: "pravokutnik izgrađen na dijagonalama četverokuta upisanog u krug jednak je zbroju pravokutnika izgrađenih na suprotnim stranama" (tj. umnožak dijagonala jednak je zbroju proizvoda suprotnih strana). Koristeći ovaj teorem, Grci su mogli (koristeći Pitagorin teorem) izračunati tetivu zbroja (ili tetivu razlike) ovih kutova ili tetivu polovice zadanog kuta iz tetiva dvaju kutova, tj. uspjeli dobiti rezultate koje sada dobivamo koristeći formule za sinus zbroja (ili razlike) dvaju kutova ili polovice kuta.
Novi koraci u razvoju trigonometrije povezani su s razvojem matematičke kulture naroda Indija, Srednja Azija i Europa (V-XII).
Važan iskorak u razdoblju od 5. do 12. stoljeća učinili su Hindusi, koji su, za razliku od Grka, počeli uzimati u obzir i koristiti u proračunima ne cijelu tetivu MM¢ (vidi crtež) odgovarajućeg središnjeg kuta, već samo njegova polovica MP, tj. ono što sada nazivamo linijom sinusa a-polovine središnjeg kuta.
Uz sinus, Indijanci su u trigonometriju uveli kosinus, točnije, počeli su koristiti kosinus u svojim izračunima. (Sam izraz kosinus pojavio se mnogo kasnije u radovima europskih znanstvenika po prvi put krajem 16. stoljeća od tzv. “komplementnog sinusa”, odnosno sinusa kuta koji nadopunjuje zadani kut do 90 °. “Sinus dopune” ili (na latinskom) sinus complementi počeo se kratiti kao sinus co ili co-sinus).
Poznavali su i omjere cosa=sin(90°-a) i sin2a+cos2a=r2, kao i formule za sinus zbroja i razlike dvaju kutova.
Sljedeća faza u razvoju trigonometrije povezana je sa zemljama
Srednja Azija, Bliski istok, Zakavkazje(VII-15. stoljeće)
Razvijajući se u tijesnoj vezi s astronomijom i geografijom, srednjoazijska matematika imala je naglašeni "računarski karakter" i bila je usmjerena na rješavanje primijenjenih problema mjerne geometrije i trigonometrije, a trigonometrija se u velikoj mjeri oblikovala u posebnu matematičku disciplinu upravo u djelima dr. Srednjoazijski znanstvenici. Od najvažnijih uspjeha koje su postigli prije svega treba istaknuti uvođenje svih šest trigonometrijskih pravaca: sinusa, kosinusa, tangente, kotangensa, sekansa i kosekansa, od kojih su samo prva dva bila poznata Grcima i Hindusima.
https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj stupa određene duljine (a=12) za j= 1°,2°,3°……
Ebu-l-Wafa iz Horasana, koji je živio u 10. stoljeću (940.-998.), sastavio je sličnu "tablicu tangenta", tj. izračunao duljinu sjene b=a×=a×tgj koju je bacio vodoravni stup određene duljine (a =60) na okomitom zidu (vidi crtež).
Treba napomenuti da su sami pojmovi "tangenta" (u doslovnom prijevodu - "dodirivanje") i "kotangenta" potječu iz latinskog jezika i pojavili su se u Europi mnogo kasnije (XVI-XVII stoljeća). Srednjoazijski znanstvenici nazvali su odgovarajuće linije "sjene": kotangens - "prva sjena", tangenta - "druga sjena".
Abu-l-Wafa je dao apsolutno preciznu geometrijsku definiciju tangente u trigonometrijskom krugu i dodao linije sekansa i kosekansa linijama tangente i kotangensa. Također je izrazio (verbalno) algebarske odnose između svih trigonometrijskih funkcija i, posebno, za slučaj kada je polumjer kružnice jednak jedan. Ovaj iznimno važan slučaj europski su znanstvenici razmatrali 300 godina kasnije. Konačno, Abu-l-Wafa je sastavio tablicu sinusa svakih 10¢.
U djelima srednjoazijskih znanstvenika, trigonometrija se iz znanosti koja služi astronomiji pretvorila u posebnu matematičku disciplinu neovisnog interesa.
Trigonometrija se odvaja od astronomije i postaje samostalna znanost. Ova se grana obično povezuje s imenom azerbajdžanskog matematičara Nasiraddin Tusi ().
Prvi put u europskoj znanosti skladan prikaz trigonometrije dat je u knjizi "O trokutima različitih vrsta", autora Johann Müller, poznatiji u matematici kao Regiomontana(). U njemu generalizira metode rješavanja pravokutnih trokuta i daje tablice sinusa s točnošću od 0,0000001. Pritom je izvanredno da je polumjer kružnice pretpostavio jednakim, odnosno izrazio je vrijednosti trigonometrijskih funkcija u decimalnim razlomcima, zapravo prelazeći iz seksagezimalnog brojevnog sustava u decimalni.
Engleski učenjak iz 14. stoljeća bradvardin () bio je prvi u Europi koji je u trigonometrijske izračune uveo kotangens zvan "izravna sjena" i tangentu zvanu "obrnuta sjena".
Na pragu XVII stoljeća. U razvoju trigonometrije zacrtava se novi smjer – analitički. Ako se prije toga smatralo da je glavni cilj trigonometrije rješenje trokuta, izračunavanje elemenata geometrijskih figura i doktrina trigonometrijskih funkcija izgrađena je na geometrijskoj osnovi, tada je u XVII-XIX stoljeću. trigonometrija postupno postaje jedno od poglavlja matematičke analize. Također sam znao za svojstva periodičnosti trigonometrijskih funkcija viet, od kojih su prve matematičke studije bile vezane uz trigonometriju.
švicarski matematičar Johann Bernoulli () već koristio simbole trigonometrijskih funkcija.
U prvoj polovici XIX stoljeća. francuski znanstvenik J. Fourier dokazao da se svako periodično gibanje može predstaviti kao zbroj jednostavnih harmonijskih oscilacija.
Od velike važnosti u povijesti trigonometrije bio je rad poznatog peterburškog akademika Leonhard Euler (), dao je cijeloj trigonometriji moderan izgled.
U svom djelu "Uvod u analizu" (1748.) Euler je razvio trigonometriju kao znanost o trigonometrijskim funkcijama, dao joj analitički prikaz, izvodeći cijeli skup trigonometrijskih formula iz nekoliko osnovnih formula.
Euler posjeduje konačno rješenje pitanja o predznacima trigonometrijskih funkcija u svim četvrtima kruga, izvođenje redukcijskih formula za opće slučajeve.
Uvođenjem novih funkcija u matematiku - trigonometrijskih, postalo je svrsishodno postaviti pitanje proširenja tih funkcija u beskonačan niz. Ispada da su takva proširenja moguća:
Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">
Ove serije znatno olakšavaju sastavljanje tablica trigonometrijskih veličina i njihovo pronalaženje s bilo kojim stupnjem točnosti.
U djelima je dovršena analitička konstrukcija teorije trigonometrijskih funkcija koju je započeo Euler. , Gauss, Cauchy, Fourier i drugi.
“Geometrijska razmatranja”, piše Lobačevski, “potrebna su sve do početka trigonometrije, dok ne poslužuju otkrivanju posebnog svojstva trigonometrijskih funkcija... Dakle, trigonometrija postaje potpuno neovisna o geometriji i ima sve prednosti analize.”
Danas se trigonometrija više ne smatra samostalnom granom matematike. Njegov najvažniji dio, doktrina trigonometrijskih funkcija, dio je općenitije doktrine o funkcijama koja se proučava u matematičkoj analizi, izgrađene s jedinstvenog stajališta; drugi dio - rješenje trokuta - smatra se glavom geometrije.
3. Svijet trigonometrije.
3.1 Primjena trigonometrije u raznim znanostima.
Trigonometrijski izračuni se koriste u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva.
Od velike je važnosti tehnika triangulacije, koja omogućuje mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji, između orijentira u geografiji i upravljanje satelitskim navigacijskim sustavima. Treba istaknuti korištenje trigonometrije u sljedećim područjima: navigacijska tehnologija, teorija glazbe, akustika, optika, analiza financijskog tržišta, elektronika, teorija vjerojatnosti, statistika, biologija, medicina (uključujući ultrazvuk), računalna tomografija, farmacija, kemija, broj teorija, seizmologija, meteorologija, oceanologija, kartografija, mnoge grane fizike, topografija, geodezija, arhitektura, fonetika, ekonomija, elektroničko inženjerstvo, strojarstvo, računalna grafika, kristalografija.
Trigonometrija u fizici.
Harmonične vibracije.
Kada se točka kreće pravocrtno naizmjenično u jednom ili drugom smjeru, onda kažu da točka čini fluktuacije.
Jedna od najjednostavnijih vrsta oscilacija je kretanje duž osi projekcije točke M, koja se jednoliko rotira oko opsega. Zakon tih oscilacija ima oblik x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .
Obično se umjesto ove frekvencije uzme u obzir ciklička frekvencijaw=, koji označava kutnu brzinu rotacije, izraženu u radijanima u sekundi. U ovim zapisima imamo: x=Rcos(wt+a). (2)
Broj a pozvao početna faza titranja.
Proučavanje oscilacija bilo koje vrste važno je zbog same činjenice da se s oscilatornim pokretima ili valovima vrlo često susrećemo u svijetu oko sebe i s velikim uspjehom ih koristimo (zvučni valovi, elektromagnetski valovi).
Mehaničke vibracije.
Mehaničke oscilacije su kretnje tijela koje se ponavlja točno (ili približno) u pravilnim razmacima. Primjeri jednostavnih oscilatornih sustava su uteg na oprugi ili njihalo. Uzmite, na primjer, uteg obješen na oprugu (vidi sliku) i gurnite ga prema dolje. Giro će početi oscilirati gore-dolje..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "left" width="202 height=146" height="146"> 
Graf ljuljanja (2) dobiva se iz grafa ljuljanja (1) pomicanjem ulijevo
na . Broj a naziva se početna faza.
https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), gdje l je duljina njihala, a j0 je početni kut otklona. Što je njihalo duže, to se sporije njiše (To se jasno vidi na sl. 1-7 dodatka VIII). Slika 8-16, Dodatak VIII jasno pokazuje kako promjena početnog odstupanja utječe na amplitudu oscilacija njihala, dok se period ne mijenja. Mjerenjem perioda titranja njihala poznate duljine može se izračunati ubrzanje zemljine teže g u različitim točkama na zemljinoj površini.
Pražnjenje kondenzatora.
Ne samo da se mnoge mehaničke vibracije događaju prema sinusoidnom zakonu. I sinusoidne oscilacije se javljaju u električnim krugovima. Dakle, u krugu prikazanom u gornjem desnom kutu modela, naboj na pločama kondenzatora mijenja se prema zakonu q \u003d CU + (q0 - CU) cos ωt, gdje je C kapacitet kondenzatora, U je napon na izvoru struje, L je induktivitet zavojnice, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src= ">Zahvaljujući modelu kondenzatora dostupnom u programu Funkcije i grafikoni, možete postaviti parametre oscilatornog kruga i izgraditi odgovarajuće grafikone g (t) i I (t) Na grafikonima 1-4 možete jasno vidjeti kako se napon utječe na promjenu jakosti struje i naboja kondenzatora, dok je jasno da kod pozitivnog napona naboj poprima i pozitivne vrijednosti.Slika 5-8 Dodatka IX pokazuje da pri promjeni kapacitivnosti kondenzatora (kada induktivitet svitka se mijenja na slici 9-14 Dodatka IX), a preostali parametri ostaju nepromijenjeni, mijenja se period titranja, tj. mijenja se učestalost strujnih oscilacija u krugu i mijenja se frekvencija naboja kondenzatora.. (vidi u prilogu tj. IX).
Kako spojiti dvije cijevi.
Navedeni primjeri mogu dati dojam da se sinusoidi javljaju samo u vezi s oscilacijama. Međutim, nije. Na primjer, sinusoidi se koriste kada se dvije cilindrične cijevi međusobno spajaju pod kutom. Da biste na ovaj način spojili dvije cijevi, morate ih koso rezati.
Ako rasklopite cijev izrezanu koso, tada će ona biti ograničena odozgo sinusoidom. To se može provjeriti tako da svijeću zamotate papirom, zarežete je ukoso i otvorite papir. Stoga, kako biste dobili ravnomjeran rez cijevi, najprije možete rezati metalni lim odozgo duž sinusoida i uvaljati ga u cijev.
teorija duge.
Teorija duge je prvi put predstavljena 1637. od Renéa Descartesa. Objasnio je dugu kao pojavu povezanu s refleksijom i lomom svjetlosti u kišnim kapima.
Duga nastaje zbog činjenice da se sunčeva svjetlost lomi u kapljicama vode suspendiranim u zraku prema zakonu loma:
gdje su n1=1, n2≈1,33 indeksi loma zraka i vode, α je upadni kut, a β kut loma svjetlosti.
Polarna svjetlost
Prodor nabijenih čestica Sunčevog vjetra u gornju atmosferu planeta određen je interakcijom magnetskog polja planeta sa Sunčevim vjetrom.
Sila koja djeluje na nabijenu česticu koja se kreće u magnetskom polju naziva se sila Lorenz. Proporcionalan je naboju čestice i vektorskom umnošku polja i brzine čestice
Zadaci iz trigonometrije s praktičnim sadržajem.
https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.
Određivanje koeficijenta trenja.
Tijelo težine P postavljeno je na nagnutu ravninu s kutom nagiba a. Tijelo je pod utjecajem vlastite težine ubrzalo put S za t sekundi. Odrediti koeficijent trenja k.
Sila tjelesnog pritiska na nagnutu ravninu =kPcosa.
Sila koja vuče tijelo prema dolje je F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)
Ako se tijelo kreće duž nagnute ravnine, tada je ubrzanje a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ; dakle 2)
Iz jednakosti (1) i (2) slijedi da je g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.
Trigonometrija u planimetriji.
Osnovne formule za rješavanje zadataka iz geometrije pomoću trigonometrije:
sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);
sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.
Omjer stranica i kutova u pravokutnom trokutu:
1) Krak pravokutnog trokuta jednak je umnošku druge katete i tangente suprotnog kuta.
2) Krak pravokutnog trokuta jednak je umnošku hipotenuze i sinusa uključenog kuta.
3) Krak pravokutnog trokuta jednak je umnošku hipotenuze i kosinusa uključenog kuta.
4) Krak pravokutnog trokuta jednak je umnošku druge katete i kotangensa uključenog kuta.
Zadatak 1:Na stranama AB i CD jednakokraki trapezABCD točke M iN na način da linijaMN je paralelan s bazama trapeza. Poznato je da u svakom od formiranih malih trapezaMBCN iAMND je moguće upisati kružnicu, a polumjeri tih kružnica su jednakir iR odnosno. Pronađite osnoveAD iPRIJE KRISTA.
dano: ABCD-trapez, AB=CD, MêAB, NêCD, MN||AD, u trapeze MBCN i AMND može se upisati kružnica polumjera r i R.
Pronaći: AD i pr.
Odluka:
Neka su O1 i O2 središta kružnica upisanih u male trapeze. Izravno O1K||CD.
U ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).
Budući da je ∆O2FD pravokutan, onda je O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Budući da AD=2DF=2R*ctg(α/2),
slično BC = 2r*tan(α/2).
cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), tada AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), nalazimo odgovor.
Odgovor : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).
Zadatak 2:U trokutu ABC poznate zabave b, c i kut između medijane i visine koja izlazi iz vrha A. Izračunaj površinu trokuta ABC.
dano: ∆ ABC, AD-visina, AE-medijan, DAE=α, AB=c, AC=b.
Pronaći: S∆ABC.
Odluka:
Neka je CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Po zakonu kosinusa u ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); i u ∆ACE, po kosinusnom teoremu c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Oduzimanjem jednakosti 2 od 1 dobivamo c²-b²=4xy*cosγ(3).
Budući da je S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), onda dijeljenjem 3 jednakosti sa 4 dobivamo: (c²-b²)/S=4*ctgγ, ali ctgγ=tgαb, dakle S∆ABC= ( c²- b²)/4*tgα.
Odgovor: (s²- b² )/4*tg α .
Trigonometrija u umjetnosti i arhitekturi.
Arhitektura nije jedino područje znanosti u kojem se koriste trigonometrijske formule. Većina kompozicijskih odluka i konstrukcija crteža odvijala se upravo uz pomoć geometrije. Ali teoretski podaci malo znače. Želim navesti primjer izgradnje jedne skulpture francuskog majstora zlatnog doba umjetnosti.
Proporcionalni odnos u konstrukciji kipa bio je savršen. Međutim, kada je kip podignut na visoko postolje, izgledao je ružno. Kipar nije uzeo u obzir da su mnogi detalji svedeni u perspektivi prema horizontu, a kada se gleda odozdo prema gore, više se ne stvara dojam njegove idealnosti. Provedeno je puno izračuna tako da je lik s velike visine izgledao proporcionalno. Uglavnom, temeljile su se na metodi promatranja, odnosno približnog mjerenja, na oko. Međutim, koeficijent razlike određenih proporcija omogućio je da se lik približi idealu. Dakle, znajući približnu udaljenost od kipa do točke gledišta, odnosno od vrha kipa do očiju osobe i visinu kipa, možemo izračunati sinus upadnog kuta pogleda pomoću tablicu (isto možemo učiniti s donjom točkom gledišta), čime ćemo pronaći točku vizije (slika 1)
Situacija se mijenja (slika 2), budući da je kip podignut na visinu AC i HC raste, možemo izračunati kosinus kuta C, pomoću tablice nalazimo upadni kut pogleda. U tom procesu možete izračunati AH, kao i sinus kuta C, što će vam omogućiti da provjerite rezultate koristeći osnovni trigonometrijski identitet jer 2a+grijeh 2a = 1.
Usporedbom mjerenja AH u prvom i drugom slučaju može se pronaći koeficijent proporcionalnosti. Nakon toga ćemo dobiti crtež, a zatim skulpturu, kada se podigne, lik će biti vizualno blizak idealu.
 |  |
https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">
Trigonometrija u medicini i biologiji.
Model bioritma
Model bioritma može se izgraditi pomoću trigonometrijskih funkcija. Da biste izgradili model bioritma, morate unijeti datum rođenja osobe, referentni datum (dan, mjesec, godina) i trajanje prognoze (broj dana).
Kretanje ribe u vodi događa se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako fiksirate točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja. Pri plivanju tijelo ribe ima oblik krivulje koja podsjeća na graf funkcije y=tgx.
Formula za srce
Kao rezultat studije koju je proveo student iranskog sveučilišta Shiraz Wahid-Reza Abbasi, po prvi put, liječnici su uspjeli pojednostaviti informacije vezane uz električnu aktivnost srca, ili, drugim riječima, elektrokardiografiju.
Formula, nazvana Teheran, predstavljena je općoj znanstvenoj zajednici na 14. konferenciji geografske medicine, a potom i na 28. konferenciji o primjeni računalne tehnologije u kardiologiji, održanoj u Nizozemskoj. Ova formula je složena algebarsko-trigonometrijska jednadžba, koja se sastoji od 8 izraza, 32 koeficijenta i 33 glavna parametra, uključujući nekoliko dodatnih za izračune u slučajevima aritmije. Prema liječnicima, ova formula uvelike olakšava proces opisivanja glavnih parametara aktivnosti srca, čime se ubrzava dijagnoza i početak stvarnog liječenja.
Trigonometrija pomaže našem mozgu odrediti udaljenosti do objekata.
Američki znanstvenici tvrde da mozak procjenjuje udaljenost do objekata mjerenjem kuta između ravnine tla i ravnine vida. Strogo govoreći, ideja o "mjerenju kutova" nije nova. Čak su i umjetnici Drevne Kine slikali udaljene objekte više u vidnom polju, pomalo zanemarujući zakone perspektive. Alhazen, arapski znanstvenik iz 11. stoljeća, formulirao je teoriju određivanja udaljenosti procjenom kutova. Nakon dugog zaborava sredinom prošlog stoljeća, ideju je ponovno oživio psiholog James Gibson (James Gibson), koji je svoje zaključke izgradio na temelju iskustva s vojnim pilotima. Međutim, nakon razgovora o teoriji
opet zaboravljena.
Rezultati nove studije, kao što možete očekivati, bit će zanimljivi inženjerima koji projektiraju navigacijske sustave za robote, kao i stručnjacima koji rade na stvaranju najrealističnijih virtualnih modela. Moguća je primjena i u području medicine, u rehabilitaciji pacijenata s oštećenjima pojedinih područja mozga.
3.2 Grafički prikazi transformacije "malo zanimljivih" trigonometrijskih funkcija u izvorne krivulje.
Krivulje u polarnim koordinatama.
s. 16is. devetnaest Utičnice.
U polarnim koordinatama odabire se jedan segment e, pol O i polarna os Ox. Položaj bilo koje točke M određen je polarnim polumjerom OM i polarnim kutom j koji čine snop OM i snop Ox. Broj r koji izražava duljinu OM-a u terminima e(OM=re) i brojčana vrijednost kuta j, izražena u stupnjevima ili radijanima, nazivaju se polarne koordinate točke M.
Za bilo koju točku osim O, možemo pretpostaviti 0≤j<2p и r>0. Međutim, kada se konstruiraju krivulje koje odgovaraju jednadžbama oblika r=f(j), prirodno je varijabli j dodijeliti bilo koje vrijednosti (uključujući negativne i one koje prelaze 2p), a r se može pokazati kao i pozitivne i negativne.
Da bismo pronašli točku (j, r), povlačimo zraku iz točke O, koja tvori kut j s osi Ox, i crtamo na njoj (za r>0) ili na njenom nastavku u suprotnom smjeru (za r>0) segment ½ r ½e.
Sve će biti uvelike pojednostavljeno ako prvo konstruirate koordinatnu mrežu koja se sastoji od koncentričnih krugova polumjera e, 2e, 3e, itd. (centriranih na polu O) i zraka za koje je j = 0 °, 10 °, 20 °, .. 340°, 350°; ove će zrake biti prikladne i za j<0°, и при j>360°; na primjer, na j=740° i na j=-340° udarit ćemo u gredu za koju je j=20°.
Proučavanje ovih grafova pomaže računalni program Funkcije i grafovi. Koristeći mogućnosti ovog programa, istražujemo neke zanimljive grafove trigonometrijskih funkcija.
1 .Razmotrimo krivulje dane jednadžbama:r=a+grijeh3j
I. r=sin3j (djetelina ) (Sl. 1)
II. r=1/2+sin3j (slika 2), III. r=1+ sin3j (sl.3), r=3/2+ sin3j (sl.4) .
Krivulja IV ima najmanju vrijednost r=0,5 i latice imaju nedovršen izgled. Dakle, kada je a > 1, latice djeteline imaju nedovršen izgled.
2. Razmotrite krivuljekada je a=0; 1/2; 1;3/2
Pri a=0 (slika 1), pri a=1/2 (slika 2), pri a=1 (slika 3) latice su gotove, pri a=3/2 će biti pet nedovršenih latica., (Sl. .4).
3. Općenito, krivuljar=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), jer u ovom sektoru 0°≤≤180°.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> jedna latica bi zahtijevala "sektor" veći od 360°.
Slika 1-4 prikazuje izgled latica sa =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" visina="41 src=">.
4. Jednadžbe koje je pronašao njemački matematičar prirodoslovac Habenicht za geometrijske oblike koji se nalaze u biljnom svijetu. Na primjer, jednadžbe r=4(1+cos3j) i r=4(1+cos3j)+4sin23j odgovaraju krivuljama prikazanim na slici 1.2.
Krivulje u kartezijanskim koordinatama.
Lissajousove krivulje.
Mnoge zanimljive krivulje također se mogu konstruirati u kartezijanskim koordinatama. Posebno su zanimljive krivulje čije su jednadžbe dane u parametarskom obliku:
Gdje je t pomoćna varijabla (parametar). Na primjer, razmotrite Lissajousove krivulje, okarakterizirane u općem slučaju jednadžbama:
Ako kao parametar t uzmemo vrijeme, tada će Lissajousovi brojevi biti rezultat zbrajanja dvaju harmonijskih oscilatornih gibanja izvedenih u međusobno okomitim smjerovima. U općem slučaju, krivulja se nalazi unutar pravokutnika sa stranicama 2a i 2c.
Pogledajmo sljedeće primjere
I.x=sin3t; y=sin 5t (sl.1)
II. x=sin3t; y=cos 5t (sl.2)
III. x=sin3t; y=sin 4t. (slika 3.)
Krivulje mogu biti zatvorene ili otvorene.
Na primjer, zamjena jednadžbi I jednadžbama: x=sin 3t; y=sin5(t+3) pretvara otvorenu krivulju u zatvorenu krivulju (slika 4.)
Zanimljive i osebujne su linije koje odgovaraju jednadžbama oblika
na=arcsin(sin k(x-a)).
Iz jednadžbe y=arcsin(sinx) slijedi:
1) i 2) siny=sinx.
Pod ova dva uvjeta funkcija y=x zadovoljava. Grafikonirajte ga u intervalu (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> imat ćemo y=p-x, budući da sin( p-x )=sinx i u ovom intervalu
. Ovdje će graf biti predstavljen segmentom BC.
Budući da je sinx periodična funkcija s periodom od 2p, izlomljena linija ABC konstruirana u intervalu (,) ponovit će se u drugim dijelovima.
Jednadžba y=arcsin(sinkx) odgovarat će isprekidanoj liniji s točkom https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >
zadovoljava koordinate točaka koje istovremeno leže iznad sinusoida (za njih y>sinx) i ispod krivulje y=-sinx, tj. "područje rješenja" sustava sastojat će se od područja zasjenjenih na slici 1.
2. Razmotrite nejednakosti
1) (y-sinx)(y+sinx)<0.
Za rješavanje ove nejednakosti prvo gradimo grafove funkcija: y=sinx; y=-sinx.
Zatim bojimo područja gdje je y>sinx i istovremeno y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.
Ova nejednakost će zadovoljiti područja zasjenjena na slici 2
2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+)))<0
Prijeđimo na sljedeću nejednakost:
(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))(y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0
Da bismo riješili ovu nejednakost, prvo gradimo grafove funkcija: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .
Napravimo tablicu mogućih rješenja.
1 množitelj ima znak | 2 množitelj ima znak | 3 množitelj ima znak | 4 množitelj ima znak |
Zatim razmatramo i slikamo rješenja sljedećih sustava.
)| i |y|>|sin(x-)|.
2) Drugi množitelj je manji od nule, tj. gif" width="17" height="41">)|.
3) Treći faktor je manji od nule, tj. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| i |y|>|sin(x+Akademske discipline" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">akademske discipline, tehnologija, svakodnevni život.
Korištenje programa za modeliranje "Funkcije i grafovi" značajno je proširilo mogućnosti provođenja istraživanja, omogućilo materijalizaciju znanja pri razmatranju primjene trigonometrije u fizici. Zahvaljujući ovom programu provedena su laboratorijska računalna istraživanja mehaničkih oscilacija na primjeru njihala, te su razmatrane oscilacije u električnom krugu. Korištenje računalnog programa omogućilo je istraživanje zanimljivih matematičkih krivulja definiranih pomoću trigonometrijskih jednadžbi i crtanja u polarnim i kartezijanskim koordinatama. Grafičko rješenje trigonometrijskih nejednakosti dovelo je do razmatranja zanimljivih matematičkih ukrasa.
5. Popis korištene literature.
1. ., Atanasov matematičkih problema s praktičnim sadržajem: Knj. za učitelja.-M.: Prosvjeta, str.
2. .Vilenkin u prirodi i tehnici: Knj. za izvannastavno čitanje IX-X ćelije - M .: Obrazovanje, 5s (Svijet znanja).
3. Kućanske igre i zabava. Država. izd. fizike i matematike lit. M, 9str.
4. .Kozhurov trigonometrija za tehničke škole. Država. izd. tehničko-teorijski lit. M., 1956
5. Knjiga. za izvannastavnu lektiru iz matematike u srednjoj školi. Država. odgojno-ped. izd. Min. Prosv. RF, M., str.
6. Tarakanova trigonometrija. 10 ćelija ..-M .: Drofa, str.
7. O trigonometriji i ne samo o njoj: vodič za učenike od 9. do 11. razreda - M .: Obrazovanje, 1996-80.
8. Shapirovi problemi s praktičnim sadržajima u nastavi matematike. Knjiga. za učitelja.-M.: Prosvjeta, 1990-96s.
Mini - projektni rad na temu "Povijest razvoja trigonometrije"
11 "a" učenik MBOU "srednja škola Kilemar" općinskog okruga Kilemar Republike Mari El Ivantsov Vasily
Učiteljica: I.P. Konyushkova
Ciljevi i zadaci:
- Pronađite podatke o razvoju trigonometrije
- Proučite literaturu na tu temu
Plan:
6. Razvoj moderne trigonometrije
U svom radu razmatram povijest razvoja trigonometrije.
1. Pojava trigonometrije kao znanosti
Trigonometrija je nastala i razvila se u antici kao jedan od odjeljaka astronomije, kao njezin računalni aparat. Neki trigonometrijski podaci bili su poznati starim Babilonima i Egipćanima, ali temelji ove znanosti postavljeni su u staroj Grčkoj. Starogrčki astronomi uspješno su rješavali određena pitanja iz trigonometrije vezana uz astronomiju. Međutim, nisu uzimali u obzir linije sinusa, kosinusa itd., već akorde. Prve trigonometrijske tablice sastavio je Hiparh iz Nikeje (180.-125. pr. Kr.). Hiparh je bio prvi koji je tablično prikazao odgovarajuće veličine lukova i tetiva za niz kutova.
Potpunije informacije o trigonometriji sadržane su u Ptolemejevom Almagestu. Ptolomej je podijelio opseg na 360 stupnjeva, a promjer na 120 dijelova. Smatrao je radijus kao 60 dijelova i koristio je seksagezimalni brojevni sustav. Za pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom promjeru kružnice, napisao je na temelju Pitagorinog teorema: (tetiva α)²+(tetiva /180-α /)² = (promjer)², što odgovara moderna formula sin²α+cos²α=1. Ptolemejeva tablica, koja je preživjela do našeg vremena, ekvivalentna je tablici sinusa s pet točnih decimalnih mjesta.
2. Razvoj trigonometrije u Indiji
U 4. stoljeću centar razvoja matematike preselio se u Indiju. Indijski matematičari bili su dobro upoznati s radovima grčkih astronoma i geometara. Njihov je doprinos primijenjenoj astronomiji i računskim aspektima trigonometrije vrlo značajan. Prije svega, Indijanci su promijenili neke od koncepata trigonometrije, približivši ih modernim. U Indiji je trigonometrija postavljena kao opća doktrina odnosa u trokutu, iako je, za razliku od grčkih akorda, indijski pristup bio ograničen samo na funkcije oštrog kuta. Indijanci su definirali sinus nešto drugačije nego u modernoj matematici, ali su oni prvi uveli kosinus u upotrebu.
3. Daljnji razvoj trigonometrije u zemljama Bliskog i Bliskog istoka
Trigonometrija je dodatno razvijena u 9.-15. stoljeću. u zemljama Bliskog i Bliskog istoka. Najraniji sačuvani radovi pripadaju al-Khwarizmiju i al-Marvaziju (IX. stoljeće), koji su, uz sinus i kosinus koji su bili poznati Indijcima, razmatrali nove trigonometrijske funkcije: tangentu, kotangens, sekans i kosekans. Khorezmi (al-Khwarizmi) Muhammad bin Musa sastavio je tablice sinusa i kotangensa. Autor je niza astronomskih djela: djela o sunčanom satu, astrolabu; sastavio niz matematičkih i astronomskih tablica. Sačuvan je i njegov rukopis "Slika zemlje" (objavljen 1878.), posvećen geografiji. No, slavu znanstvenika donio je prvenstveno njegov rad na području matematike. Velike rezultate u razvoju trigonometrije postigao je Abu-l-Wafa u drugoj polovici 10. stoljeća, koji je prvi put upotrijebio krug jediničnog polumjera za određivanje trigonometrijskih funkcija, kao što se to radi u modernoj matematici.
Jedna od najvažnijih zadaća znanosti tog vremena bila je sastavljanje trigonometrijskih tablica s najmanjim mogućim korakom. U 9. stoljeću, al-Khwarizmi je sastavio tablice sinusa s korakom od 1°, njegov suvremenik al-Marvazi dodao im je prve tablice tangenta, kotangensa i kosekansa s istim korakom. Početkom 10. stoljeća, al-Battani je objavio tablice s korakom od 30", krajem istog stoljeća Ibn Yunis je sastavio tablice s korakom od 1". Prilikom sastavljanja tablica ključno je bilo izračunati vrijednost. Vješte metode za izračunavanje ove vrijednosti zajedno s Ibn Yunisom i Abu-l-Wafom izmislio je i al-Biruni. Prvi specijalizirani traktat o trigonometriji bio je njegovo djelo "Knjiga ključeva znanosti o astronomiji" (995-996). Al-Kashi je postigao najveći uspjeh u 15. stoljeću; u jednom od svojih djela izračunao je da(svi znakovi su točni). Njegove trigonometrijske tablice od 1′ koraka bile su nenadmašne 250 godina. At-Tusi, Nasir ad-Din (1201.-1274.) u svom "Traktatu o potpunom četverokutu" prvi put je predstavio trigonometrijske podatke kao samostalan odjel za matematiku, a ne dodatak astronomiji.
4. Nastavak razvoja trigonometrije u Europi
Nakon što su arapske rasprave prevedene na latinski u XII-XIII stoljeću, mnoge ideje indijskih i perzijskih matematičara postale su vlasništvo europske znanosti. U Europi se nastavio razvoj trigonometrije. U početku su se podaci o trigonometriji davali u spisima o astronomiji, ali u Fibonaccijevom djelu "The Practice of Geometry", napisanom oko 1220. godine, trigonometrija je opisana kao dio geometrije. Prvo europsko djelo koje je u potpunosti posvećeno trigonometriji često se naziva Četiri rasprave o izravnim i obrnutim akordima engleskog astronoma Richarda od Wallingforda (oko 1320.).
Najistaknutiji europski predstavnik ovog doba bio je Regiomontanus. Njegov rad, izložen u matematičkom djelu Pet knjiga o trokutima svih vrsta, bio je od velike važnosti u daljnjem razvoju trigonometrije u 16.-17. stoljeću.
Na pragu 17.st u razvoju trigonometrije zacrtava se novi smjer – analitički. Ako se prije toga smatralo da je glavni cilj trigonometrije rješenje trokuta, izračunavanje elemenata geometrijskih figura i doktrina trigonometrijskih funkcija izgrađena je na geometrijskoj osnovi, tada je u XVII-XIX stoljeću. trigonometrija postupno postaje jedno od poglavlja matematičke analize. Nalazi široku primjenu u mehanici, fizici i tehnici, posebice u proučavanju oscilatornih gibanja i drugih periodičnih procesa. Viet je znao za svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, čije su prve matematičke studije bile povezane s trigonometrijom. Švicarski matematičar Johann Bernoulli (1642-1727) već je koristio simbole za trigonometrijske funkcije. Proširenje pojma trigonometrijskih funkcija dovelo je do njihova utemeljenja na novoj, analitičkoj osnovi: trigonometrijske funkcije definiraju se neovisno o geometriji korištenjem nizova stepena i drugih koncepata matematičke analize.
I. Newton i L. Euler pridonijeli su razvoju analitičke teorije trigonometrijskih funkcija. Leonhard Euler uveo je i sam koncept funkcije i simbolizam koji je danas prihvaćen. On je cijeloj trigonometriji dao moderan izgled. U svojoj raspravi Uvod u analizu beskonačnosti (1748.), Euler je dao definiciju trigonometrijskih funkcija ekvivalentnu suvremenoj i definirao inverzne funkcije. Otada je Eulerov pristup postao općeprihvaćen i ušao u udžbenike.
5. Razvoj trigonometrije u Rusiji
U Rusiji su prve informacije o trigonometriji objavljene u zbirci "Tablice logaritama, sinusa i tangenta za proučavanje mudrih skrbnika", objavljenoj uz sudjelovanje L.F. Magnitskog 1703. godine. Godine 1714. pojavio se informativni priručnik "Geometrija prakse", prvi ruski udžbenik o trigonometriji, usmjeren na primijenjene probleme topništva, navigacije i geodezije. Temeljni udžbenik akademika M. E. Golovina (učenika Eulera) „Pravinska i sferna trigonometrija s algebarskim dokazima“ (1789.) može se smatrati završetkom razdoblja svladavanja trigonometrijskog znanja u Rusiji.
Krajem 18. stoljeća u Petrogradu je nastala autoritativna trigonometrijska škola koja je dala velik doprinos ravninskoj i sfernoj trigonometriji.
Daljnji razvoj teorije trigonometrije nastavili su u 19. stoljeću N. I. Lobačevski i drugi znanstvenici.
Početkom 19. stoljeća N. I. Lobačevski je ravninskoj i sfernoj trigonometriji dodao treći dio - hiperbolični. U 19.-20. stoljeću teorija trigonometrijskih nizova i srodna područja matematike brzo se razvijaju: na primjer, kodiranje audio i video informacija i drugo.
Danas se u matematičkoj analizi razmatra najvažniji dio trigonometrije - doktrina trigonometrijskih funkcija, a rješenje trokuta je dio geometrije.
Radeći na ovoj temi, proučavao sam niz izvora i pronašao podatke o razvoju trigonometrije.
Literatura: 1. Glazer G.I. Povijest matematike u školi: IX-X ćelije. Vodič za učitelje. - M .: Obrazovanje, 1983.
2. Internet resursi
Potreba za rješavanjem trokuta javila se prije svega u astronomiji: i dugo se trigonometrija razvijala i proučavala kao jedan od odjela astronomije.
Koliko je poznato: metode rješavanja trokuta (sfernog) prvi je napisao grčki astronom Hiparh sredinom 2. stoljeća pr. Grčka trigonometrija svoja najveća dostignuća duguje astronomu Ptolomeju (2. st. n. e.), tvorcu geocentričnog sustava svijeta koji je dominirao prije Kopernika. Grčki astronomi nisu poznavali sinuse, kosinuse i tangente. Umjesto tablica ovih veličina, koristili su tablice: koje vam omogućuju da pronađete tetivu kružnice duž sklopljenog luka. Lukovi su mjereni u stupnjevima i minutama; akordi su se također mjerili u stupnjevima (jedan stupanj bio je šezdesetina polumjera), minutama i sekundama. Ovu seksagezimalnu podjelu Grci su preuzeli od Babilonaca.
Trigonometrija je također dosegla znatne visine među indijskim srednjovjekovnim astronomima. Glavno postignuće indijskih astronoma bila je zamjena tetiva sinusima, što je omogućilo uvođenje različitih funkcija povezanih sa stranicama i kutovima pravokutnog trokuta. Tako je u Indiji položen početak trigonometrije kao učenja o trigonometrijskim veličinama.
Trigonometrija je neophodna za astronomske izračune, koji se sastavljaju u obliku tablica. Prva tablica sinusa nalazi se u Surya Siddhanti i Aryabhati. Dano je kroz 3,4,5. Kasnije su znanstvenici sastavili detaljnije tablice: na primjer, Bhaskara daje tablice za sinuse do 1.
Južnoindijski matematičari u 16. stoljeću napravili su veliki napredak u području zbrajanja beskonačnih brojevnih nizova. Očigledno su se bavili tim istraživanjima kada su tražili načine da izračunaju točnije vrijednosti broja P. Nilakanta usmeno daje pravila za proširenje tangente luka u beskonačan niz potenciranja. A u anonimnoj raspravi "Karanapaddhati" ("Tehnika računanja"), dana su pravila za proširenje sinusa i kosinusa u beskonačne potencijske nizove. Mora se reći da se u Europi takvim rezultatima pristupilo tek u 17-18 stoljeću. Dakle, niz za sinus i kosinus izveo je I. Newton oko 1666. godine, a niz arktangenta su pronašli J. Gregory 1671. i G.V. Leibniz 1673. godine.
Trigonometrija je matematička disciplina koja proučava odnos između stranica i kutova trokuta. Trigonometrija je grčka riječ i doslovno znači mjerenje trokuta.
Pojava trigonometrije povezana je s zemljomjerom, astronomijom i graditeljstvom. Trigonometrija je nastala iz praktičnih potreba čovjeka. Uz njegovu pomoć možete odrediti udaljenost do nepristupačnih objekata i općenito uvelike pojednostaviti proces geodetskog snimanja područja za sastavljanje zemljopisnih karata.
Po prvi put metode za rješavanje trokuta na temelju ovisnosti između stranica i kutova trokuta pronašli su starogrčki astronomi Hiparh (2. st. pr. Kr.) i Klaudije Ptolomej (2. st. n. e.). Ptolomej je izveo odnose između tetiva u krugu koji su ekvivalentni modernim formulama za sinuse pola kuta. Koncept sinusa ima dugu povijest. Zapravo, različiti omjeri segmenata trokuta i kružnice nalaze se već u 3. stoljeću prije Krista. u djelima velikih matematičara antičke Grčke, Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. U rimskom razdoblju te je odnose prilično sustavno proučavao Menelaj (1. st. Kr.), iako nisu dobili poseban naziv.
Moderni sinus, na primjer, proučavan je kao polutetiva na kojoj počiva središnji kut veličine ili kao tetiva udvojenog luka. Riječ kosinus je mnogo mlađa. Kosinus je skraćenica od latinskog izraza potpuno sinus, tj. "dodatni sinus".
Tangente su nastale u vezi s rješenjem problema određivanja duljine sjene. Tangentu (kao i kotangens) uveo je u 10. stoljeću arapski matematičar Abul Wafa, koji je sastavio i prve tablice za pronalaženje tangenta i kotangensa.
Trigonometrija je dalje razvijena u djelima istaknutih astronoma Nikole Kopernika (1473-1543), tvorca heliocentričnog sustava svijeta, Tycha Brahea (1546-1601) i Johannesa Keplera (1571-1630), kao i u djela matematičara Francoisa Viete (1540-1603), koji je u potpunosti riješio problem određivanja svih elemenata ravnog ili sfernog trokuta prema tri podatka. Analitičku teoriju trigonometrijskih funkcija uglavnom je stvorio istaknuti matematičar 18. stoljeća Leonhard Euler (1707-1783), član Petrogradske akademije znanosti. Euler je prvi uveo dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo razmatrati funkcije proizvoljnog kuta i dobio formule redukcije.
Tako se trigonometrija, koja je nastala kao znanost o rješavanju trokuta, s vremenom razvila u znanost o trigonometrijskim funkcijama.